课程名称：常微分方程
英文名称：Ordinary Differential Equations
课程类别：必修课
课程编号：010108
周学时数：5
总学时数：90

一、课程目的与要求

常微分方程是系统培养数学人才的重要的基础课程之一。教学时间应安排在第四学期或第三学期。这时，学生已学完线性代数，基本学完数学分析和普通物理中的力学部分。常微分方程课的目的就是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何和普通物理学的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为他们学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。

本课程的内容主要包括以下五个方面：

1. 微分方程的初等积分法（包括一阶线性微分方程和齐次方程的求解）；
2. 线性微分方程（组）的基本理论（包括通解的结构，常系数线性方程（组）和高阶方程的求解方法）；
3.一般微分方程的基本理论（包括初值问题的解的存在唯一性，解的延拓，以及解对初值与参数的连续性与可微性）；
4.定性理论初步（包括解的稳定性，一般定性理论的概念，平面动力系统和浑沌与分支理论初步）；
5.一阶线性偏微分方程（包括特征线法和首次积分）。

二、课程内容与学时分配

1. 基本例子和基本概念：主要介绍如何根据科学定律和原理，并利用微积分的思想，解决实际问题所导出的若干常微分方程实例，包含一些经典的实例，如自由落体运动，牛顿的力学定律（包括万有引力定律），简单生态模型和经济模型等（4学时）。
2. 初等积分法：主要讲述六类典型方程（包括变量可分离方程、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性方程、伯努利方程、恰当方程）的解法，以及可化为典型方程求解的方程（包括一阶隐方程和高阶方程）；同时给出不能用初等积分法求解的例子（黎卡提方程）（22学时）。
3. 线性微分方程（组）理论：主要介绍通解的结构，常数变易公式，刘维尔公式和常系数微分方程的算子解法和拉氏变换；也介绍二阶线性常微分方程的施图姆比较原理。（28学时）。
4. 常微分方程的一般理论：主要讲述关于初值问题解的存在性和唯一性的几个基本定理（包括皮卡定理，皮亚诺定理和柯西定理），解的延展定理，解对初值与参数的连续性和可微性。（16学时）
5. 定性理论初步：介绍稳定性概念，包括李雅普诺夫第二方法的基本结果；介绍动力系统的概念，主要讲述平面动力系统的基本理论；简单介绍结构稳定，浑沌和分支以及和首次积分基本概念。（10学时）
6. 一阶线性偏微分方程：讲述它与常微分方程组之间的关系，介绍特征线法的概念与求解。（10学时）。

三、教材与主要参考书目

教材：
常微分方程，伍卓群、李勇，高等教育出版社, 2004。

主要参考书：
常微分方程讲义，周钦德、李勇，吉林大学出版社，1995
常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群，高等教育出版社，1963。
常微分方程讲义(第二版)，叶彦谦，人民教育出版社，1982。
常微分方程教程，丁同仁、李承治，高等教育出版社，1991