§1.9 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

1、增量

设变量从它的初值变到终值，终值与初值的差 ，称为变量的增量，记为，即：。

注意：

(1)、增量可正亦可负(不要由于名称中的“增”字，而认为)。

(2)、应视为一个整体记号。

假设函数在点的某一个邻域内有定义，当自变量在邻域内从变到时， 函数相应的从变到， 我们将差值

称之为函数在点处的增量。

函数增量的几何意义如下：

2、函数的连续性

所谓函数在点处连续是指：

或

其严格定义如下：

【定义1】

设在点的某一邻域内有定义，如果当自变量增量趋向于零时， 对应的函数增量也趋向于零， 则称函数在点处连续。

令 ，则

可见：(1)式等价于

因此，函数的连续性定义可以改成下述新的形式。

【定义2】

设在点的某一邻域内有定义， 如果函数当时的极限存在且等于它在该点的函数值， 即

则称函数在点处连续。

关于函数的连续性，还有几个相应的概念。

1、如果，称函数在处左连续。

2、如果，称函数在处右连续。

3、如果函数在区间上每一点均连续， 称函数在区间上连续;

若包括端点，那么函数在右端点的连续性是指左连续，而在左端点的连续性是指右连续。

连续函数的图象是一条连绵不间断的曲线。这是因为，如果函数的图象上出现了“空洞”、“断裂”，那么函数在该点处一定不连续。请看示例图。

在处，图例一的， 显然， ， 函数在处间断，曲线上的一个空洞。

在处，图例二的增量为

显然，。曲线在处有一段阶梯。

3、证明函数极限的方法

证明函数在点连续，等价于证明下述极限

若要证明函数在区间上连续，只需对上任意一点证明(1)或(2)成立。

在§6(极限运算法则)中，我们业已证明了结论：

(1)、如果是多项式函数， 有 ，这表明多项式函数在 内连续;

(2)、如果是有理分式函数， ，只要 ，有， 这表明有理分式函数在其定义域内连续。

【例1】证明函数在 内连续。

证明：

则有

故有 ，据函数在点连续的定义在连续，又由于是上的任意一点，因此，函数在区间上连续。

【例2】证明函数在上连续。

证明：

，当有增量时，对应的函数增量为

因

故

据两边夹法则，当时，，进而，

这便证明了函数对于任何是连续的，继而证明了函数在区间上的连续性。

类似地，同学们可以仿此方法证明在上的连续性。

二、函数的间断点

1、间断点的定义

所谓函数在处间断，粗略地讲，意指函数在处不连续。

那么函数在一点不连续的“正面涵义”又是什么呢? 我们仅需要将函数在处连续的定义中的各个条款一一地加以否定即可。

设在的某个邻域内有定义，但除外(即：函数在处可以有定义，也可以无定义)，如果有下列三种情形中之一：

(1)、在处没有定义；

(2)、虽在有定义， 但不存在；

(3)、虽在有定义， 且存在，但

则称在处不连续，点是函数的间断点。

2、典型实例

【例3】在间断，它是振荡间断点。

运行程序gs0106.m,可作出此函数在[-1,1]上的图象。

【例4】在间断，它是无穷间断点。

【例5】在间断，它是可去间断点。

【例6】在间断，它是跳跃间断点。

3、间断点的分类

以函数的左极限、右极限是否均存在， 将间断点分为两类。

设是函数的间断点，若

(1)、均存在，则称为函数的第一类间断点；

(2)、中至少有一个不存在，则称为函数的第二类间断点。