§3.7  曲线的凹凸与拐点

一、引例

研究了函数的单调性、极性,对于函数的性态有了更进一步的了解。为了描绘出函数的图象的主要特征,仅凭此两点还是不够的。

【引例】作函数 上的图象

曲线的凹凸的特性可由下面的几何图形所反映出的事实看出:

二、凹凸的定义

设函数上连续, 如果对上任意两点, 恒有

则称曲线上的是(),也称函数上的凹函数

如果恒有

则称曲线上是(),也称函数上的凸函数

函数的一阶导数的符号可判断函数的单调性,二阶导数的符号又能确定函数的何种属性呢?一个最简单的例子,给我们以启迪。

抛物线的二阶导数为

, 即,抛物线是开口向上的

, 即,抛物线是开口向下的

三、凹凸性的判别法

【定理】

设函数上连续, 在内具有一阶和二阶导数,那未

(1)、若在内, ,则上的图形是的;

(2)、若在内, ,则上的图形是的。

证明(仅证(2))

, 且    

由拉氏中值公式有

两式相减得:

在区间上再一次地使用拉氏中值公式有:

其中:

依定理情形(2)的假设条件有, 从而

,即

,亦即

所以, 函数上是的。

对此定理,我们给出两点注释

1、定理的记忆方法

2、函数在任意区间上凹凸性的定义与判定与之相类似。

四、曲线的拐点

业已知道,函数一阶导数为零或不存在的点,是函数单调区间的分界点,且函数在它左右两侧的单调性往往是相反的。

能否猜想:函数二阶导数为零或不存在的点,它所对应的曲线上的点是曲线弧与弧的分界点。

【拐点定义】连续曲线上的弧与弧的分界点称为该曲线的拐点

依拐点的定义, 不难给出确定曲线拐点的方法:

设函数在区间上连续

1、求出上为零或不存在的点;

2、这些点将区间划分成若干个部分区间,然后考察在每个部分区间上的符号,确定曲线的凹凸性;

3、若在两个相邻的部分区间上,曲线的凹凸性相反,则此分界点是拐点;若在两个相邻的部分区间上,曲线的凹凸性相同,则此分界点不是拐点。

【例1】求曲线的凹凸区间与拐点。

解:函数的定义区间为

,令  得:

将定义区间分为三个区间

时,,点是曲线的一个拐点;

时,,点也是曲线的一个拐点。

【例2】讨论曲线的凹凸性与拐点。