§4.3 分部积分法

设函数， 具有连续导数， 那么

移项得：

对这个等式两边求不定积分，得：

(1)

式(1)称为分部积分公式。

(1)还可表述成如下形式：

(2)

它的作用是：

若求有困难，而求较容易时，可采用分部积分公式。分部积分法是数学上常用的一种方法 — 转化法的具体运用。

【例1】求

解：设 ，

，

在进行分部积分时，把被积表达式中的哪一部分取作，是任意的。但是，如果与的选取不恰当，往往使问题变得更复杂。

例如，在上例中，若选择 ，

那么 ，

显然，求 较 更困难。

【例2】求 ，

解：， ，

， ，

所以

这表明：可连续使用分部积分法。

【例3】求

解：设 ，

，

再设 ，

，

(*)

将移到左端，两端同除以2，并加上任意常数 C，得到：

例三的评注：

1、求，使用两次分部积分法得( * )式，又转回到。表面上看，我们在转圈子，并没有前进，实质上却不然。

若设 ( 是一个未知函数) ，则有

这是一个关于的一元一次方程，问题转化为求此方程的解。很明显，我们的确把问题的解决大大地向前推进了一步，并未落入“怪圈”。

2、怪圈现象在现实中广泛存在

(1)、分部积分怪圈

(2)、罗必达法则怪圈

(3)、图形怪圈

(4)、语义怪圈

理发师：我要为世界上所有不自已刮胡子的人刮胡子，

但不为世界上所有自己刮胡子的人刮胡子。

某 人：请问，你为自己刮胡子吗?

实际解题中，往往是第一、第二换元法与分部积分法揉合在一起使用；而且在分部积分法使用熟练之后，不必设出与，只要记在心中即可。

【例4】求

解：令 ， ，