§5.4  定积分的换元法

一、换元公式

定理】若

1、函数上连续;

2、函数在区间上单值且具有连续导数;

3、当上变化时,的值在上变化,且

  

则有

                          (1)

证明:

(1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续, 故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。

假设上的一个原函数,据牛顿—莱布尼兹公式有

另一方面, 函数的导数为

这表明: 函数上的一个原函数, 故有:

从而有   

对这一定理给出几点注解:

1、用替换,将原来变量代换成新变量后,原定积分的限应同时换成新变量的限。

求出的原函数后,不必象不定积分那样,将变换成原变量的函数,只需将新变量的上下限代入中然后相减即可。

2、应注意代换的条件,避免出错。

(1)单值且连续;

(2)

3、对于时, 换元公式(1)仍然成立。

 

【例1】求  

【解法一】 令

时,;当时,

又当  时,有

且变换函数 上单值,上连续,

由换元公式有

 

【解法二】令

时,   时,

又当时,

且变换函数上单值, 上连续,

由换元公式有

注意:

在【解法二】中,经过换元,定积分的下限较上限大。

换元公式也可以反过来, 即

【例2】求

解:设

时,;当  时,

 

一般来说,这类换元可以不明显地写出新变量,自然也就不必改变定积分的上下限。

二、常用的变量替换技术与几个常用的结论

【例3】证明

1、若上连续且为偶函数,则

2、若上连续且为奇函数,则

证明:由定积分对区间的可加性有

  

作替换  

故有



为偶函数, 则

为奇函数, 则 

【例4】若上连续, 证明:

1

2

并由此式计算定积分 

 

1、证明:设

 

2、证明: 设

 

 

 

【例5】求

解:令

 

评注:

这一定积分的计算并未求原函数,只用到了变量替换、定积分性质,这一解法值得我们学习。