§7.3 向量的坐标

一、向量在轴上的投影与投影定理

1、空间两向量的夹角

设有两向量、交于点(若、不相交，可将其中一个向量平移使之相交)，将其中一向量绕点在两向量所决定的平面内旋转，使它的正方向与另一向量的正方向重合，这样得到的旋转角度(限定)称为、间的夹角，记作。

若、平行，当它们指向相同时，规定它们之间的夹角为；当它们的指向相反时，规定它们的夹角为。

类似地，可规定向量与数轴间的夹角

将向量平行移动到与数轴相交，然后将向量绕交点在向量与数轴所决定的平面内旋转， 使向量的正方向与数轴的正方向重合， 这样得到的旋转角度称为向量与数轴的夹角。

2、空间点在轴上的投影

设已知点及轴，过点作轴的垂直平面，则平面与轴的交点叫做点在轴上的投影。

3、向量在轴上的投影

设向量的始点与终点在轴的投影分别为、， 那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影， 记作 ， 轴称为投影轴。

这里，的值是这样的一个数值。

(1)、即， 数的绝对值等于向量的模。

(2)、当的方向与轴的正向一致时，；当的方向与轴的正向相反时，。

4、投影定理

【定理】向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦。即

【证明】过向量的始点引轴，且轴与轴平行且具有相同的正方向，那未轴与向量的夹角等于轴与向量的夹角，而且有

故

由上式可知：

向量在轴上的投影是一个数值，而不是向量。

当非零向量与投影轴成锐角时， 向量的投影为正；

当与投影轴成钝角时，向量的投影为负；

当与投影轴成直角时，向量的投影为零。

【定理】两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和，即

证明：如图所示， 设为投影轴，作折线，

使 ，，，

，，，

不论在轴上的位置如何，总有

即

【推广】

二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标

向量的研究较复杂，为了沟通向量与数量，需要建立向量与有序数组之间的对应关系，借助向量在坐标轴上的投影可达到此目的。

1、向量在数轴上的投影向量及表示法

设是一空间向量， 为一条数轴。点、在轴上的投影分别为、，而点、在数轴上的坐标依次为、，则

记 ，则 (1)

设是与轴的正方向一致的单位向量，那么

(2)

(1)式是向量在轴上的投影的计算公式，而称为向量在轴上的投影向量，(2)式是它的一种表示法。

2、向量在坐标轴上的分向量

设是一空间向量，其始点为，终点为，过点、各作垂直于三个坐标轴的平面，这六个平面围成一个以线段为对角线的长方体。

从图中可以看出

而

向量、、分别是向量在、、轴上的投影向量， 我们称它们分别是向量在、、轴上的分向量。

若以、、分别表示沿、、轴正向的单位向量， 并称它们为这一坐标系的基本向量。于是

因此

或

此二式称为向量或按基本向量的分解式。

3、向量的坐标

一方面，由向量可以唯一地定出它在三条坐标轴上的投影； 另一方面，由又可以唯一地定出向量。这样，向量与有序数组之间建立了一一对应的关系。

故可以把向量在三条坐标轴上的投影叫做向量的坐标，将表达式称作向量的坐标表示式。

注意：向量的坐标表示式是用花括号{ }表示的，不要与空间点的坐标表示式用圆括号( )表示相混淆。

以为始点及为终点的向量的坐标式可表示成

特别地， 空间点对于原点的向径为

4、用坐标形式表示向量的运算性质

设 ，，则

，

于是

最后，我们得到了向量加减与数乘运算的坐标表示式

【例1】定比分点公式

设和为两已知点，有向线段上的点将它分为两条有向线段和，使它们的值的比等于数()，即

求分点的坐标。

解：因为与在同一直线上，且同方向，故

，，

解得

三、向量的模与方向余弦的坐标表示式

向量可以用它的模与方向来表示，也可以用它的坐标式来表示，这两种表示法之间的是有联系的。

设空间向量与三条坐标轴的正向的夹角分别为，规定：

称为向量的方向角。

因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此

(1)

公式(1)中出现的称为向量的方向余弦。

而

是与向量同方向的单位向量。

而

(2)

从而向量的方向余弦为

(3)

并且

(2)、(3)式分别给出了用坐标式给出的向量的模与方向的计算公式。

【例2】已知两点和，求与同方向的单位向量。

解：