§7.3
向量的坐标
一、向量在轴上的投影与投影定理
1、空间两向量的夹角
设有两向量、
交于点
(若
、
不相交,可将其中一个向量平移使之相交),将其中一向量绕
点在两向量所决定的平面内旋转,使它的正方向与另一向量的正方向重合,这样得到的旋转角度
(限定
)称为
、
间的夹角,记作
。
若、
平行,当它们指向相同时,规定它们之间的夹角为
;当它们的指向相反时,规定它们的夹角为
。
类似地,可规定向量与数轴间的夹角
将向量平行移动到与数轴相交,然后将向量绕交点在向量与数轴所决定的平面内旋转,
使向量的正方向与数轴的正方向重合, 这样得到的旋转角度称为向量与数轴的夹角。
2、空间点在轴上的投影
设已知点及轴
,过点
作轴
的垂直平面
,则平面
与轴
的交点叫做点
在轴
上的投影。
3、向量在轴上的投影
设向量的始点
与终点
在轴
的投影分别为
、
, 那么轴
上的有向线段
的值
叫做向量
在轴
上的投影, 记作
, 轴
称为投影轴。
这里,的值
是这样的一个数值。
(1)、即, 数
的绝对值等于向量
的模。
(2)、当的方向与轴
的正向一致时,
;当
的方向与
轴的正向相反时,
。
4、投影定理
【定理】向量在轴
上的投影等于向量的模
乘以轴
与向量
的夹角
的余弦。即
【证明】过向量的始点
引轴
,且轴
与轴
平行且具有相同的正方向,那未轴
与向量
的夹角等于轴
与向量
的夹角,而且有
故
由上式可知:
向量在轴
上的投影是一个数值,而不是向量。
当非零向量与投影轴
成锐角时, 向量
的投影为正;
当与投影轴
成钝角时,向量
的投影为负;
当与投影轴
成直角时,向量
的投影为零。
【定理】两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和,即
证明:如图所示,
设为投影轴,作折线
,
使 ,
,
,
,
,
,
不论在
轴上的位置如何,总有
即
【推广】
二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
向量的研究较复杂,为了沟通向量与数量,需要建立向量与有序数组之间的对应关系,借助向量在坐标轴上的投影可达到此目的。
1、向量在数轴上的投影向量及表示法
设是一空间向量,
为一条数轴。点
、
在轴
上的投影分别为
、
,而点
、
在数轴
上的坐标依次为
、
,则
记
,则
(1)
设是与轴
的正方向一致的单位向量,那么
(2)
(1)式是向量在轴
上的投影的计算公式,而
称为向量
在轴
上的投影向量,(2)式是它的一种表示法。
2、向量在坐标轴上的分向量
设是一空间向量,其始点为
,终点为
,过点
、
各作垂直于三个坐标轴的平面,这六个平面围成一个以线段
为对角线的长方体。
从图中可以看出
而
向量、
、
分别是向量
在
、
、
轴上的投影向量, 我们称它们分别是向量
在
、
、
轴上的分向量。
若以、
、
分别表示沿
、
、
轴正向的单位向量, 并称它们为这一坐标系的基本向量。于是
因此
或
此二式称为向量或
按基本向量的分解式。
3、向量的坐标
一方面,由向量可以唯一地定出它在三条坐标轴上的投影
; 另一方面,由
又可以唯一地定出向量
。这样,向量
与有序数组
之间建立了一一对应的关系。
故可以把向量在三条坐标轴上的投影
叫做向量的坐标,将表达式
称作向量
的坐标表示式。
注意:向量的坐标表示式是用花括号{ }表示的,不要与空间点的坐标表示式用圆括号( )表示相混淆。
以为始点及
为终点的向量的坐标式可表示成
特别地, 空间点对于原点的向径为
4、用坐标形式表示向量的运算性质
设
,
,则
,
于是
最后,我们得到了向量加减与数乘运算的坐标表示式
【例1】定比分点公式
设和
为两已知点,有向线段
上的点
将它分为两条有向线段
和
,使它们的值的比等于数
(
),即
求分点的坐标。
解:因为与
在同一直线上,且同方向,故
,
,
解得
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
向量可以用它的模与方向来表示,也可以用它的坐标式来表示,这两种表示法之间的是有联系的。
设空间向量与三条坐标轴的正向的夹角分别为
,规定:
称为向量
的方向角。
因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影,因此
(1)
公式(1)中出现的称为向量
的方向余弦。
而
是与向量
同方向的单位向量。
而
(2)
从而向量的方向余弦为
(3)
并且
(2)、(3)式分别给出了用坐标式给出的向量的模与方向的计算公式。
【例2】已知两点和
,求与
同方向的单位向量
。
解: