§7.3  向量的坐标

一、向量在轴上的投影与投影定理

1、空间两向量的夹角

设有两向量交于点(不相交,可将其中一个向量平移使之相交),将其中一向量绕点在两向量所决定的平面内旋转,使它的正方向与另一向量的正方向重合,这样得到的旋转角度(限定)称为间的夹角,记作

平行,当它们指向相同时,规定它们之间的夹角为;当它们的指向相反时,规定它们的夹角为

类似地,可规定向量与数轴间的夹角

将向量平行移动到与数轴相交,然后将向量绕交点在向量与数轴所决定的平面内旋转, 使向量的正方向与数轴的正方向重合, 这样得到的旋转角度称为向量与数轴的夹角

2、空间点在轴上的投影

设已知点及轴,过点作轴的垂直平面,则平面与轴的交点叫做点在轴上的投影。

3、向量在轴上的投影

设向量的始点与终点在轴的投影分别为, 那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影, 记作 , 轴称为投影轴

这里,的值是这样的一个数值。

(1)即, 数的绝对值等于向量的模。

(2)、当的方向与轴的正向一致时,;当的方向与轴的正向相反时,

4、投影定理

【定理】向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦。即

【证明】过向量的始点引轴,且轴与轴平行且具有相同的正方向,那未轴与向量的夹角等于轴与向量的夹角,而且有

 

由上式可知:

向量在轴上的投影是一个数值,而不是向量

当非零向量与投影轴锐角时, 向量的投影为

与投影轴钝角时,向量的投影为

与投影轴直角时,向量的投影为

【定理】两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和,即

证明:如图所示, 设为投影轴,作折线

使 

不论轴上的位置如何,总有

     

【推广】

二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标

向量的研究较复杂,为了沟通向量与数量,需要建立向量与有序数组之间的对应关系,借助向量在坐标轴上的投影可达到此目的。

1、向量在数轴上的投影向量及表示法

是一空间向量, 为一条数轴。点在轴上的投影分别为,而点在数轴上的坐标依次为,则

,则                                 (1)

是与轴的正方向一致的单位向量,那么

                                      (2)

(1)式是向量在轴上的投影的计算公式,而称为向量在轴上的投影向量(2)式是它的一种表示法。

2、向量在坐标轴上的分向量

是一空间向量,其始点为,终点为,过点各作垂直于三个坐标轴的平面,这六个平面围成一个以线段为对角线的长方体。

从图中可以看出

向量分别是向量轴上的投影向量, 我们称它们分别是向量轴上的分向量

若以分别表示沿轴正向的单位向量, 并称它们为这一坐标系的基本向量。于是

因此  

此二式称为向量按基本向量的分解式

3、向量的坐标

一方面,由向量可以唯一地定出它在三条坐标轴上的投影; 另一方面,由又可以唯一地定出向量。这样,向量与有序数组之间建立了一一对应的关系。

故可以把向量在三条坐标轴上的投影叫做向量的坐标,将表达式称作向量的坐标表示式

注意:向量的坐标表示式是用花括号{  }表示的,不要与空间点的坐标表示式用圆括号(  )表示相混淆。

为始点及为终点的向量的坐标式可表示成  

特别地, 空间点对于原点的向径为

4、用坐标形式表示向量的运算性质

,则

于是

最后,我们得到了向量加减与数乘运算的坐标表示式

【例1】定比分点公式

为两已知点,有向线段上的点将它分为两条有向线段,使它们的值的比等于数(),即

求分点的坐标。

解:因为在同一直线上,且同方向,故

 

 

解得

三、向量的模与方向余弦的坐标表示式

向量可以用它的模与方向来表示,也可以用它的坐标式来表示,这两种表示法之间的是有联系的。

设空间向量与三条坐标轴的正向的夹角分别为,规定: 

为向量方向角

因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影,因此

                            (1)

公式(1)中出现的称为向量方向余弦

 

是与向量同方向的单位向量。

                                   (2)

从而向量的方向余弦为

                                (3)

并且   

(2)(3)式分别给出了用坐标式给出的向量的模与方向的计算公式。

【例2】已知两点,求与同方向的单位向量

解: