§7.7 平面及其方程

一 平面的点法式方程

若一非零向量垂直于一平面，则称此向量是该平面的法线向量。

显然，平面上的任一向量均与平面的法线向量垂直。由于过空间一点可以作而且只能作一个平面垂直于一已知直线。

因此，当平面上一点和它的一个法线向量 给定之后，平面的位置就确定下来了。

下面，我们来建立这种平面方程。

设是上的任一点，那未，，即

而

若设 ，故

（1）

这表明：平面上任一点的坐标满足方程(1)。

反过来，若点不在平面上，向量就不垂直于，从而 ，即

亦即：不在平面上的点的坐标不适合方程(1)。

故，方程(1)就是平面的方程，而平面便是方程(1)的图形。

因为方程(1)是由平面上一点及它的一个法线向量唯一确定的，因此，方程(1)也称之为平面的点法式方程。

二 平面的一般方程

注意到，方程(1)是的一次方程，我们可断言：任一平面都可以用三元一次方程来表示。

这是因为任一平面都可以由它的法线向量与它上面的一点唯一决定，而平面的点法式方程本身就是三元一次方程。

反过来，若有三元一次方程

（2）

任取满足该方程的一组数，即

两式相减得

（3）

显然，方程(3)是过点且以为法线向量的平面方程，而方程(2)与方程(3)是同解的，由此可知， 三元一次方程(2)所代表的图形是平面。

方程(2)称为平面的一般方程 ，该平面的法向量是由的系数所作成的向量。

对于一些特殊的三元一次方程，它们所代表的平面具有一些特殊性。

1、当时，(2)式成为，它表示一个通过原点的平面，因为的坐标显然适合该方程。

2、当时，(2)式成为，法线向量为，因 ，()，故，

，从而平面 平行于轴。

类似地，方程 表示平行于轴的平面；方程 表示平行于轴的平面。

3、当时，(2)式成为或，法线向量同时垂直于轴，轴，故方程表示过点，且平行于面的平面。

类似地，方程表示过点且平行于面的平面；方程表示过点且平行于面的平面。

【例一】画出下列平面的图形

(1)、 (2)、 (3)、

【例二】求通过轴和点的平面方程。

解：平面过轴，则该平面的法线向量垂直于轴，且平面过原点，

故设该平面的方程为

由平面过点，有

将此式代入所设方程有

约去非零因子，得平面方程

注明：为什么呢?

若，那么该平面的法线向量，这与平面法线向量必须为非零向量的规定相矛盾。

【例三】设一平面与轴，轴，轴分别交于三点 ，，求此平面的方程(其中： )。

解：设所求的平面方程为 ，

将三点的坐标分别代入得

及

代入所设方程有

两边同除以有

(4)

方程(4)称之为平面的截距式方程，而依次称作平面在轴上的截距。

三 两平面间的夹角

两平面的法线向量的夹角称作两平面间的夹角。

下面，我们阐述一下用两平面间法线向量的夹角来定义两平面间夹角的合理性。

如图所示，设想平面与平面重合在一起的，于是它们的法线向量应平行，即 。将平面的一侧向上提起，与之间产生倾角。与此同时，的法线向量发生转动，与平面的法线向量产生的角度。

下面，我们导出计算两平面夹角的公式

设有平面

和平面

则与的法线向量分别为 ，

两向量间夹角的余弦为

(5)

由(5)式，立刻可给出如下结论：

1、

2、

【例四】一平面过两点 和 且垂直于平面

，求它的方程。

解：设所求平面的法线向量为

显然， 在所求平面上，

故 ， ，即

又垂直于平面的法线向量，故有

解方程组 得：

据点法式方程有

约去非零因子 得

故所求方程为

【例五】 设是平面： 外一点， 求点到平面的距离。

解：在平面任取一点，作平面的法线向量，

如图，作向量， 记与之间的夹角为，

到平面的距离

考虑到夹角可能是钝角，取距离为

则

而

故