§10.1
对弧长的曲线积分
一、概念的引进
假设面内有一段曲线弧
具有质量,在
上任一点
处的线密度为
,且
在
上连续,
与
分别是弧
的端点,现计算弧
的质量
。
在上任意地插入
个分点
将分划成
个小弧段。对于第
个小弧段
,由于线密度函数
在
上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于
于是,整个曲线弧的质量近似值为
用表示这
个小弧段长度的最大者, 即
为了得到质量的精确值,只需对上述和式取极限,令
,
即 (1)
撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。
【定义】设为
面内的一条光滑曲线弧,函数
在
上有界,在
内任意地插入
点,
它把分成
个小弧段,设第
个小段
的长度为
,
为
上任取的一点,记
作和式
如果极限 存在,
这个极限值就叫做函数在曲线弧
上对弧长的曲线积分,记作
。
亦即
其中:叫做被积函数,
叫做积分弧段。
注记:
1、中的被积函数
的定义域为
上的一切点。
2、上述定义可类似地推广到空间曲线的情形,
设是空间的一条光滑曲线,函数
在
上有界,则
3、若为一条封闭曲线,一般将
记为
。
二、对弧长的曲线积分的性质
利用对弧长的曲线积分定义, 我们可以证明下述性质
1、
2、若为常数,
3、
4、若在上,
,则
5、若,则
上述性质均不加以证明, 有兴趣的同学可以查阅有关书籍。
三、对弧长曲线积分的计算法
假设曲线由参数方程
给出,且函数在
上具有一阶连续导数;函数
在
上连续;当参数
由
变至
时, 依点
至点
的方向描出曲线
。
在上取一系列的点
设它们对应于一列单调增加的参数值
依定义
这里的,并设点
对应于参数值
则
由弧长计算公式与定积分中值定理有
从而
(2)
由于函数在
上连续, 在
时,小区间
的长度
。 那么在
上,
与
只相差一个的高阶无穷小, 因此, 我们可以把(2)式右端的
换成
,有
而右端和式的极限,就是函数在区间
上的定积分。由于函数是连续的,故此定积分存在,因此,上式左端的曲线积分亦存在,且有
(3)
强调指出, (3)式中的定积分下限一定要小于上限
,理由是
(2)式中的由表达式
给出,因小弧段的长度, 从而
因此
利用(3)式,可导出如下几种对弧长的曲线积分计算公式
1、曲线由方程
给出时,
2、曲线由方程
给出时,
3、空间曲线由参数方程
给出时,
【例1】计算,其中
为圆周
【解法一】可化为参数方程
【解法二】曲线关于
轴对称,设
是在
轴上方的一支,则方程应为
而被积函数在
上关于
轴偶对称,故
【例2】计算半径为,中心角为
的圆弧
对于它的对称轴的转动惯量
(设线密度为
)。
解:建立如图所示的坐标系
则
而
于是