§10.2
对坐标的曲线积分
一、概念的引入
设一质点在面内从点
沿光滑曲线弧
移动到点
,在移动过程中,该质点受到变力
的作用,其中函数,
在
上连续,现计算变力所作的功
。
在上任意地插入
个点
将划分成
个小弧段,且点
的坐标为
。
由于光滑且很短,可用有向线段
来近似地代替它,其中,,
分别是
在坐标轴上的投影。
又因为函数 ,
在
上连续,可用
上任意一点
处的力
来近似地代替该小弧段上的变力。
质点沿有向小弧段移动时,变力所作功可近似地取为
从而
为得到的精确值,只需令
,(
是这
个小弧段长度的最大者),对上述和式取极限。
即 (1)
(1)式右端和式的极限是又一类新的和式极限, 为此, 我们引入对坐标的曲线积分概念。
【定义】设为
面内从点
到点
的一条有向光滑曲线弧, 函数
,
在
上有界,用
上的
个点
将分成
个有向小弧段
,设
,
是这
个小弧段长度的最大者
任取点
如果极限 存在, 则此极限值就叫做函数
在有向曲线弧
上对坐标
的曲线积分,记作
。
类似地,如果极限存在,则此极限值就叫做函数
在有向曲线弧
上对坐标
的曲线积分,并记作
。
即
其中:,
叫做被积函数,
叫做积分弧段。
注记:
1、对坐标的曲线积分中的
是有向弧段
在
轴上的投影, 它的值可正也可负。这与对弧长的曲线积分
中的
恒为正值是有区别的。
2、应用中经常出现
这种形式,今后,可将之简记成
从而,变力沿有向曲线
所作功可表成
3、上述定义可推广到积分曲线弧为空间有向曲线弧的情形
并且 可简记成形式
4、对坐标的曲线积分存在定理
若,
在有向光滑曲线弧
上连续,则
,
都存在。
这一定理可类似地推广到空间曲线的情形。
二、对坐标曲线积分的性质
1、若将分成
与
, 且
,
的方向由
的方向所决定的,则
2、设是有向曲线弧,而
是与
方向相反的有向曲线弧,则
这一性质表明:对坐标的曲线积分应特别注意积分曲线弧的方向。
3、若,
是常数,则
三、对坐标曲线积分计算法
【定理】
设 ,
在有向曲线弧
上有定义且连续;
曲线的参数方程为
当参数单调地由
变到
时,点
从的起点
沿
运动到终点
;
函数,
在以
,
为端点的区间上具有一阶连续导数,且
则曲线积分 存在,并且
(4)
证明:在上任意地插入一系列点( 依从
至
的方向 )
它们对应于参数值为
这一列参数值是单调变化的。
据对坐标的曲线积分定义有
若设点对应于参数值
,那么
应在
与
之间,且
又
这里 , 而
在
与
之间。
于是
因为函数在闭区间
( 或
)上连续, 那么可将上式中的
换成
,从而
而等价于
,因此
上式右端的和式极限就是定积分 。
由于连续,这个定积分存在,因此上式左端的曲线积分
也就存在,且有
同理可证
将两式相加便得到了(4)式。
几种特殊情形的对坐标曲线积分
1、如果由方程
给出时,(4)式成为
这里: 下限对应于
的起点, 上限
对应于
的终点。
2、如果由方程
给出时,(4)式成为
这里: 下限对应于
的起点, 上限
对应于
的终点。
3、公式(4)可方便地推广到空间曲线由参数方程
给出的情形
这里:下限
对应于
的起点, 上限
对应于
的终点。
【例1】计算, 其中
为
(1)、半径为, 圆心在原点依逆时针绕行的上半圆周;
(2)、从点沿
轴到点
的直线段。
解1:的参数方程为
时,对应于
的起点
,
时,对应于
的终点
,
解2:的方程为
,
时,对应于
的起点
;
时,对应于的终点
,
此例表明: 两个对坐标的曲线积分尽管被积函数相同, 积分曲线的起点与终点也相同,而积分曲线不同时,其值并不相同。
【例2】计算, 其中
为
(1)、抛物线上从
到
的一段弧;
(2)、抛物线上从
到
的一段弧;
(3)、有向折线,这里依次是
,
,
。
解1、
解2:
解3:
此例表明: 虽然沿不同的曲线弧,但第二类曲线积分的值可以是相同的。换句话说,计算曲线积分时, 积分值仅与起点, 终点
的坐标有关, 而与连接这两点的曲线形式无关。
四、两类曲线积分的关系
设有向曲线弧的起点为
,终点为
,取弧长
为曲线弧
的参数,曲线
的全长
,这里
。
设曲线弧由参数方程
给出,函数 ,
在
上具有一阶连续的导数,又函数
,
在
上连续。
对坐标的曲线积分
其中:
由莱布尼兹微分三角形可知: 与
是有向曲线弧
在点
的切线向量的方向余弦,该切线向量的指向与曲线
的方向一致。
另一方面,对弧长的曲线积分
由此可见, 平面曲线上的两类曲线积分之间有如下联系
这里: 为有向曲线弧
上点
处的切线向量的方向角。