§10.4
对面积的曲面积分
一、概念的引入
1、引例
我们知道,若为
面上具有质量密度为
的一块薄片,那么该平面薄片的质量
可以由如下二重积分表示
当是一张具有质量密度
的空间曲面时,它也具有质量,那么它的质量应如何定义和计算呢?显然,解决这一问题的方法仍可用我们曾反复使用过的元素法。
用任意一组曲线将曲面划分成
块“小”曲面
(
既表示第
块“小”曲面,也表示它的面积),若面密度函数
在
上连续的条件下,第
块“小”曲面的质量近似地为
其中是
上的任意一点。
于是,曲面的总质量
近似地为
从而
这里,表示
块“ 小 ”曲面直径中最大者。
撇开这一实际问题的具体意义,抽出它所蕴含的数学特征,便有如下对面积的曲面积分的概念。
2、对面积的曲面积分的定义
设空间曲面是光滑的,函数
在
上有界,用任意一组曲线将
划分成
个小块
(
同时也表示第
小块曲面的面积 ),在第
小块
上任意取定一点
,作和式
用记各小块曲面直径中的最大者, 如果当
时,上述和式的极限存在,则称此极限值为函数
在曲面
上对面积的曲面积分,并记作
,亦即
其中:叫做被积函数,
叫做积分曲面,
叫做曲面面积元素。
根据上述定义,面密度为连续函数的光滑曲面
的质量
,可以表示成为函数
在
上对面积的曲面积分
对面积的曲面积分在物理上表示具有质量分布曲面的总质量,这与二重积分所代表的物理意义是相同的,因此,它有与二重积分相类似的一些性质。
二、对面积的曲面积分的性质
1、存在定理
若曲面是光滑的,函数
在曲面
上连续,则
存在。
2、对曲面的可加性
设可分成两片光滑的曲面
与
( 记作
),而
与
均存在,则亦存在,且有
3、
4、若在曲面上,有
,则
三、对面积的曲面积分的计算法
设曲面由方程
给出,它在
面上的投影区域为
,函数
在
上具有一阶连续偏导数,而被积函数
在
上连续。
依对面积的曲面积分定义有
如图,第块小曲面
( 它的面积也记作
) 在
面上投影区域为
( 它的面积也记作
),则
可表示成
点属于曲面
,故
于是,积分和式可表示成
由于函数以及函数
在闭区域
上连续,当
时,上式右端的极限与
的极限是相等的,都等于二重积分
因此
这就是对面积的曲面积分化二重积分的计算公式。
注一、公式的记忆方法
注二、被积函数定义在
上,它的自变量取值应满足
方程。
注三、用类似的方法,可导出对面积的曲面积分另外两个计算公式。
【例1】求,
为锥面
介在
之间的部分。
【解法一】取的方程为
它在面上的投影区域为
【解法二】取的方程为
那么在
面上的投影区域为
曲面关于面分前后对称的两片,只考虑前面的一片
,然后使用对称性即可。
由此例的两种解法,可总结出对面积的曲面积分计算的两大要点:
1、给出曲面合适的方程形式
(
或
)
2、找出曲面在相应的坐标面
(
或
) 上的投影区域
(
或
)。
如果曲面方程的选择不适宜,会给投影区域的确定与二重积分的计算造成一定的困难。
【例2】求均匀曲面的重心坐标。
解:设面密度为,重心坐标为
,依重心的定义有
其中,是曲面的总质量,
,
,
为曲面对坐标面
,
,
的力矩。
曲面在面的投影区域为
,
曲面的面积元素为
故 ,
由曲面的对称性,有
,
从而
,重心坐标为
。