§11.10 周期为2L的周期函数的傅里叶级数

对于周期为的周期函数的傅立叶级数展开，根据已有的结论，借助变量替换，可得到下面定理。

【定理】设周期为的周期函数满足收敛定理的条件，则它的傅立叶级数展开式为

其中系数的计算式为

如果为奇函数，则有

其中系数

如果为偶函数，则有

其中系数

证：作变量替换，当时，，函数可重新表示成，从而是周期为的周期函数且满足收敛定理的条件，因此，可以展开成为傅立叶级数

其傅立叶系数的计算表达式为

由于，，上式可分别改写成

类似地，可以证明定理的其余部分。

【例1】设是周期为的周期函数，它在上的表达式为

将它展开成傅立叶级数。

解：的图象如下：

其傅立叶系数为

据收敛定理，有

因此，的傅立叶展开式为

这里，

【例2】将函数展开成正弦级数和余弦级数。

解：将作奇延拓，得到函数，且

再将以4为周期进行周期延拓，便可获到一个以4为周期的周期函数，其图象如下：

其傅立叶系数为

由于函数在处间断，故的正弦级数展开式为

这里：

再将作偶延拓，得到函数，且

将以4为周期进行周期延拓，便可获到一个以4为周期的周期函数，其图象如下：

其傅立叶系数为

由于函数在上连续，故的余弦级数展开式为

这里：

如果令，得

对定义在任意区间上的函数，若它满足收敛定理所要求的条件，也可将它展开成傅立叶级数，其方法如下：

作变量替换 ，即 ，

当时，，将函数改写成

则是定义在上，且满足收敛定理条件的函数，从而可将其展开成傅立叶级数。

【例3】将函数展开成傅立叶级数。

解：作变量替换 ，当时，则 ，而

将以为周期进行周期延拓，可得到一个周期函数，其图象如下：

其傅立叶系数为

显然，点是函数的间断点，函数在其它点均连续，故的傅立叶展开式为

将代入上式，得