§11.1  常数顶级数的概念和性质

一、级数的定义

若给定一个数列 ,由它构成的表达式

                                   (1)

称之为常数项无穷级数,简称级数,记作

亦即 

其中第叫做级数的一般项

上述级数定义仅仅只是一个形式化的定义,它未明确无限多个数量相加的意义。无限多个数量的相加并不能简单地认为是一项一项地累加起来,因为,这一累加过程是无法完成的。

为给出级数中无限多个数量相加的数学定义,我们引入部分和概念。

作级数(1)的前项之和

                                     (2)

为级数(1)部分和。当依次取时,它们构成一个新数列

称此数列为级数(1)部分和数列

根据部分和数列(2)是否有极限,我们给出级数(1)收敛与发散的概念。

定义】当无限增大时,如果级数(1)的部分和数列(2)有极限,即

则称级数(1)收敛,这时极限叫做级数(1),并记作

如果部分和数列(2)无极限,则称级数(1)发散

当级数(1)收敛时,其部分和是级数和的近似值,它们之间的差值

叫做级数的余项

注明】由级数定义发现,它对加法的规定是:依数列的序号大小次序进行逐项累加,因此,级数的敛散性与这种加法规定的方式有关

著名反例

(1)、若逐项相加,部分和为

,

无极限,故级数发散。

(2)、若每两项相加之后再各项相加,有

【例1】讨论等比级数

的敛散性。

解:若,则部分和为

(1)、当时,,故

 等比级数收敛,且和为

(2)、当时,,从而

 等比级数发散;

(3)、当时,

,则

, 则

不存在。

即当时,等比级数发散。

综合有

【例2】研究下列伸缩型级数的敛散性

1

2

1

 从而

 因此,级数1是发散的。

2

从而

因此,级数2收敛于

二、级数的基本性质

性质一】如果级数

收敛于和,则它的各项同乘以一个常数所得的级数

也收敛,且和为

【证明】设的部分和分别为,则

 

于是,

故级数收敛且和为

由关系式 ,有

如果没有极限,且,那未也没有极限。

因此,我们得到如下重要结论

级数的每一项同乘一个不为零的常数后,它的敛散性不变。

【性质二】设有级数

分别收敛于, 则级数

也收敛,且和为

【证明】设级数的部分和分别为, 则部分和

 

 

这表明级数收敛且其和为

据性质二,我们可得到几个有用的结论

1、若收敛,则

        (分配律)

        (一种结合律)

2、若收敛,而发散,则必发散。

反证:假设收敛,则亦收敛,

收敛,这与条件相矛盾。

3、若均发散,那么可能收敛,也可有发散。

    

发散

又如   

      收敛

【性质三】在级数的前面去掉或加上有限项,不会影响级数的敛散性,不过在收敛时,一般来说级数的和是要改变的。

【证明】将级数

的前项去掉,得到新级数

新级数的部分和为

其中是原级数前项的部分和,而是原级数前项之和(它是一个常数)。故当时,具有相同的敛散性。在收敛时,其收敛的和有关系式

其中

类似地,可以证明在级数的前面增加有限项,不会影响级数的敛散性。

性质四】将收敛级数的某些项加括号之后所成新级数仍收敛于原来的和。

证明】设有收敛级数

它按照某一规律加括号后所成的级数为

表示这一新级数的前项之和,它是由原级数中前项之和所构成的(),即有

显然,当时,有,因此

级数加括号与去括号之后所得新级数的敛散性较复杂,下列事实在解题中会常用到。

1、如果级数加括号之后所形成的级数发散,则级数本身也一定发散

显然,这是性质四的逆否命题。

2、收敛的级数去括号之后所成级数一定收敛。

例如,级数收敛于零,但去括号之后所得级数

 

却是发散的。

这一事实也可以反过来陈述:

即使级数加括号之后收敛,它也不一定就收敛。

三、级数收敛的必要条件

对于级数

它的一般项与部分和有关系式 

假设该级数收敛于和,则

于是,我们有如下级数收敛的必要条件

定理】级数收敛的必要条件是

必须指出,级数的一般项趋向于零并不是级数收敛的充分条件

【著名反例】讨论调和级数

的敛散性。

这里,,即调和级数的一般项趋近于零。

考虑由轴所围成的曲边梯形的面积与这个阶梯形面积的关系。

时,,从而,

因此,调和级数发散到