§11.2
常数项级数的审敛法
一、正项级数及审敛法
若级数
中的各项都是非负的( 即
)，则称级数为正项级数。
由于级数的敛散性可归结为正项级数的敛散性问题，因此，正项级数的敛散性判定就显得十分地重要。
1、基本定理
正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界。
【证明】设级数
(1)
是一个正项级数，它的部分和数列
是单调增加的，即
。
若数列
有上界
，据单调有界数列必有极限的准则，级数(1)必收敛于和
，且
。
反过来，如果级数(1)收敛于和，即
，据极限存在的数列必为有界数列性质可知，部分和数列是有界的。
2、基本审敛法
借助正项级数收敛的基本定理，我们来建立一系列具有实用性的正项级数审敛法。
【比较审敛法】给定两个正项级数、
(1)、若
，而收敛，则亦收敛；
(2)、若
，而发散，则亦发散。
这里，级数称作级数的比较级数。
【证明】(1) 设收敛于
，
由
，的部分和满足
即单调增加的部分和数列有上界。
据基本定理知，收敛。
(2) 设发散，于是它的部分和
由
，有
从而 
，即发散。
由于级数的每一项同乘以一个非零常数
，以及去掉其有限项不会影响它的敛散性，比较审敛法可改写成如下形式
【推论】设为正数，
为正整数，、均为正项级数
(1)、若
，而收敛，则亦收敛；
(2)、若
，而发散，则亦发散。
【例1】讨论 
级数
的敛散性，其中
。
【解】1、若
，则 
，而调和级数
发散，
故 
亦发散；
2、若
，对于 
，有
，
考虑比较级数
它的部分和
故
收敛，由比较审敛法，
收敛，
由级数的性质，亦收敛。
综上讨论，当
时，级数为发散的；
当 时，级数是收敛的。
级数是一个重要的比较级数，在解题中会经常用到。
比较审敛法还可用其极限形式给出，而极限形式在运用中更显得方便。
【比较审敛法的极限形式】
设及为两个正项级数，如果极限
则级数与同时收敛或同时发散。
【证明】由极限的定义有
对
，存在着自然数，当
时，有不等式
再据比较审敛法的推论，即获得了要证的结论。
【极限审敛法】设为正项级数，
(1)、若
，则发散；
(2)、若
，则收敛。
【证明】若 
故
与 具有相同的收敛性，亦即
(1)、当时，收敛，故收敛；
(2)、当
时，发散，故发散；
(3)、
(4)、
【例2】判别级数
、
的敛散性。
解：
故级数发散；
故级数收敛。
【比值审敛法】
若正项级数适合
则Ê当
时，级数收敛；
Ë当
(也包括
)时，级数发散；
Ì当
时，级数的敛散性不详。
【证明】
Ê当时，可取一适合小的正数
，使得 
据极限的定义，存在自然数，当
时，
，
有 
，…
级数
的各项小于收敛的等比级数(
)
的对应项，故
收敛，从而亦收敛；
Ë当时，
存在充分小的正数，使得
，据极限定义，当时，有
，
因此，当时，级数的一般项是逐渐增大的，它不趋向于零，
由级数收敛的必要条件，发散。
Ì当时，级数可能收敛，也可能发散。
例如，对于
级数
，不论
取何值，总有
但是，级数在时收敛，而当时，它是发散。
【根值审敛法】
若正项级数适合
则Ê当时，级数收敛；
Ë当(也包括)时，级数发散；
Ì当时，级数的敛散性不详。
【证明】
Ê当时，可取一适合小的正数，使得
据极限的定义，存在自然数，当时，
，
等比级数
()是收敛的，因此
亦收敛，
故级数
收敛。
Ë当时，
存在充分小的正数，使得，据极限定义，当时，有
，
因此，级数的一般项不趋向于零,由级数收敛的必要条件，发散。
Ì当时，级数可能收敛，也可能发散。
例如，级数
是收敛，级数
是发散的，而
对于比值法与根值法失效的情形()，其级数的敛散性应加另寻它法加以判定，通常是构造更精细的比较级数。
【例3】判定下列级数的敛散性
1、
2、
3、
解：1、一般项为 
由比值审敛法知，级数1是收敛的。
2、一般项为 
由根值审敛法知，级数2是收敛的。
3、一般项为 
这表明，用比值法无法确定该级数的敛散性。注意到
而级数
收敛，由比较判别法，级数3收敛。
二、交错级数及其审敛法
所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正、负交错的，其形式如下
(1)
或 
其中
均为正数。
【交错级数审敛法】(又称莱布尼兹定理)
如果交错级数(1)满足条件
Ê 
Ë 
则交错级数(1)收敛，且收敛和
，余项
的绝对值
。
【证明】
1、先证
存在。
将(1)式的前
项的部分和
写成如下两种形式
及 
由条件(1) 
可知
所有括号内的差均非负，第一个表达式表明：数列
是单调增加的；而第二个表达式表明：
,数列有上界。
由单调有界数列必有极限准则，当
无限增大时，趋向于某值
，并且
。
即 
2、再证
因
由条件(2) 
可知，
由于级数的偶数项之和与奇数项之和都趋向于同一极限，故级数(1)的部分和当
时具有极限。这就证明了级数(1)收敛于，且。
3、最后证明
余项可以写成
其绝对值为 
此式的右端也是一个交错级数，它满足收敛的两个条件，故其和应小于它的首项，即
【例4】试证明交错级数
是收敛的。
【证明】
且 
故此交错级数收敛，并且和
。
三、绝对收敛与条件收敛
设有级数 
(2)
其中
为任意实数，该级数称为任意项级数。
下面，我们考虑级数(2)各项的绝对值所组成的正项级数
(3)
的敛散性问题。
【定义】
如果级数(3)收敛，则称级数(2)绝对收敛；
如果级数(3)发散，而级数(2)收敛，则称级数(2)条件收敛。
【定理一】如果级数(3)收敛，则级数(2)亦收敛。
【证明】设级数
收敛
令
显然
， 且 
而 收敛，由比较审敛法，正项级数
收敛，
从而
亦收敛，另一方面，
由级数性质，级数
收敛。
定理一将任意项级数的敛散性判定转化成正项级数的收敛性判定。
【例6】判定任意项级数 
的收敛性。
解因 
而
收敛，故
亦收敛，
据定理一，级数
收敛。
【例7】讨论级数 
的收敛性。
解 因调和级数
发散，
而交错级数收敛，
故级数非绝对收敛，仅仅是条件收敛的。
由定理一与例三，可总结出绝对收敛、条件收敛与收敛之间的关系。
有限项相加的重要性质之一是其和与相加的次序无关(即加法具有交换律、结合律)。这样的性质可否搬到无穷级数呢?
无穷级数一般不具备这样的性质，即使是条件收敛的级数也不具备有这样的性质。但如果级数绝对收敛，则级数中的各项可任意地改变位置（即交换律成立）、可任意地添加括号（即结合律成立）。
【定理二】如果级数
绝对收敛，其和为，那么任意颠倒级数各项的顺序所得到的新级数
仍绝对收敛，且其和仍为。
【典型例子】交错级数
条件收敛，设它的收敛和为。
下面讨论它的几种新组合
1、
它的前
项所作成的部分和为
对级数的项作如下重排
(4)
它的前
项所作成的部分和为
， 
这表明，重排之后的新级数收敛于
。
2、对级数的项作如下重排
它的前
项部分和为
而 
故，重排之后的新级数收敛于
。
由1、2可知，级数重排后，改变了级数的收敛和。因此，非绝对收敛的级数不能进行项的重排。