§11.4 幂级数

一、函数项级数的一般概念

设有定义在区间 上的函数列

由此函数列构成的表达式

(1)

称作函数项级数。

对于确定的值，函数项级数(1)成为常数项级数

(2)

若(2)收敛，则称点是函数项级数(1)的收敛点；

若(2)发散，则称点是函数项级数(1)的发散点；

函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域；

函数项级数的所有发散点的全体称为它的发散域。

对于函数项级数收敛域内任意一点，(1)收敛， 其收敛和自然应依赖于的取值，故其收敛和应为的函数，即为。通常称为函数项级数的和函数。它的定义域就是级数的收敛域，并记

若将函数项级数(1)的前项之和(即部分和)记作，则在收敛域上有

若把叫做函数项级数的余项(这里在收敛域上)，则 。

二、幂级数及其收敛域

函数项级数中最常见的一类级数是所谓幂级数，它的形式是

(3)

或 (4)

其中常数称作幂级数系数。

(4)式是幂级数的一般形式，作变量代换可以把它化为(3)的形式。

因此，在下述讨论中，如不作特殊说明，我们用幂级数(3)式作为讨论的对象。

1、幂级数的收敛域、发散域的构造

先看一个著名的例子，考察等比级数( 显然也是幂级数 )

的收敛性。

当时，该级数收敛于和；

当时，该级数发散。

因此，该幂级数的收敛域是开区间，发散域是及，如果在开区间内取值，则

由此例，我们观察到，这个幂级数的收敛域是一个区间。事实上，这一结论对一般的幂级数也是成立的。

【定理一】(阿贝尔定理)

若时，幂级数收敛，则适合不等式的一切均使幂级数绝对收敛；

若时，幂级数发散，则适合不等式的一切均使幂级数发散。

【证明】先设是幂级数的收敛点， 即级数

收敛，则 。

于是存在一个正数，使得

从而

当时，，等比级数收敛，从而

收敛，故幂级数绝对收敛；

定理一的第二部分可用反证法证明

假设幂级数当时发散，而有一点适合使级数收敛。

据定理一的第一部分，级数当时应收敛，这与定理的条件相矛盾，故定理的第二部分应成立。

阿贝尔定理揭示了幂级数的收敛域与发散域的结构

对于幂级数

若在处收敛，则在开区间之内，它亦收敛；

若在处发散，则在开区间之外，它亦发散；

这表明，幂级数的发散点不可能位于原点与收敛点之间。

于是，我们可以这样来寻找幂级数的收敛域与发散域

设幂级数在数轴上既有收敛点(不仅仅只是原点，原点肯定是一个收敛点)，也有发散点。

Œ从原点出发，沿数轴向右方搜寻，最初只遇到收敛点，然后就只遇到发散点，设这两部分的界点为P，点P可能是收敛点，也可能是发散点；

从原点出发，沿数轴向左方搜寻，情形也是如此，也可找到一个界点P’，两个界点在原点的两侧，由定理一知，它们到原点的距离是一样的。

Ž位于点P’与P之间的点，就是幂级数的收敛域；位于这两点之外的点，就是幂级数的发散域。

借助上述几何解释，我们就得到如下重要推论

【推论】如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数存在，它具有下列性质

Œ当时，幂级数绝对收敛；

当时，幂级数发散；

Ž当时，幂级数可能收敛，也可能发散。

正数通常称作幂级数的收敛半径。

由幂级数在处的敛散性就可决定它在区间，，或上收敛，这区间叫做幂级数的收敛区间。

特别地，如果幂级数只在处收敛，则规定收敛半径；如果幂级数对一切都收敛，则规定收敛半径。

2、幂级数的收敛半径的求法

【定理二】设有幂级数，且

(，是幂级数的相邻两项的系数)

如果 Œ，则 ；

，则 ；

Ž，则 。

【证明】考察幂级数的各项取绝对值所成的级数

(*)

该级数相邻两项之比为

若 存在，据比值审敛法，

Œ当

即时，级数(*)收敛，从而原幂级数绝对收敛；

当，即时，级数(*)从某个开始，有

从而不趋向于零，进而 也不趋向于零，因此原幂级数发散。

于是，收敛半径 ；

‚若，则对任何，有

从而级数(*)收敛，原幂级数绝对收敛

于是， 收敛半径 ；

ƒ若，则对任何，有

依极限理论知，从某个开始有

，

因此 ，

从而

原幂级数发散。

于是，收敛半径。

【例1】求下列幂级数的收敛半径与收敛区间

1、

2、

解1：这里

在左端点，幂级数成为

它是发散的；

在右端点，幂级数成为

它是收敛的。

收敛区间为。

解2.此幂级数缺少奇次幂项,可据比值审敛法的原理来求收敛半径

当，即时，幂级数收敛；

当，即时，幂级数发散；

对于左端点，幂级数成为

它是发散的；

对于右端点，幂级数成为

它也是发散的。

故收敛区间为 。

【例2】求函数项级数的收敛域

解：作变量替换 ，则函数项级数变成了幂级数

因

故收敛半径为。

在左端点，幂级数成为

它是发散的；

在右端点，幂级数成为

它也是发散的。

故收敛区间为 。

即 ，

亦即 。

三 幂级数的运算性质

对下述性质，我们均不予以证明

1．加，减运算

设幂级数及的收敛区间分别为与，记，当时，有

2．幂级数和函数的性质

Ê幂级数的和函数在收敛区间内连续。

Ë若幂级数在敛区的左端点收敛，则其和函数在处右连续，即；

Ì若幂级数在敛区的右端点 处收敛，则其和函数在处左连续，即。

注：这一性质在求某些特殊的数项级数之和时， 非常有用。

3．逐项求导

幂级数的和函数在收敛区间内可导，且有

4．逐项求积分

幂级数的和函数在收敛区间内可积，且有

【例3】求数项级数 之和。

解：

当时，幂级数成为

是一收敛的交错级数。

当时，幂级数成为

是发散的调和级数。

故

且有

【例4】求的和函数。

解：

设

当时，幂级数成为

它是收敛的；

当时，幂级数成为

它是收敛的；

因此，当 时，有

【例5】求 的和。

解：考虑辅助幂级数

设

故，当 时，有

令 ，得