§11.5 函数展开成幂级数

一、泰勒级数

如果在处具有任意阶的导数，我们把级数

(1)

称之为函数在处的泰勒级数。

它的前项部分和用记之，且

这里：

由上册中介绍的泰勒中值定理，有

当然，这里是拉格朗日余项，且

。

由有

。

因此，当时，函数的泰勒级数

就是它的另一种精确的表达式。即

这时，我们称函数在处可展开成泰勒级数。

特别地，当时，

这时，我们称函数可展开成麦克劳林级数。

将函数在处展开成泰勒级数，可通过变量替换，化归为函数 在 处的麦克劳林展开。因此，我们着重讨论函数的麦克劳林展开。

【命题】函数的麦克劳林展开式是唯一的。

证明：设在的某邻域内可展开成的幂级数

据幂级数在收敛区间内可逐项求导，有

把代入上式，有

从而

于是，函数在处的幂级数展开式其形式为

这就是函数的麦克劳林展开式。

这表明，函数在处的幂级数展开形式只有麦克劳林展开式这一种形式。

二、函数展开成幂级数

1、直接展开法

将函数展开成麦克劳林级数可按如下几步进行

Œ求出函数的各阶导数及函数值

若函数的某阶导数不存在，则函数不能展开；

写出麦克劳林级数

并求其收敛半径。

Ž考察当时，拉格朗日余项

当时，是否趋向于零。

若，则第二步写出的级数就是函数的麦克劳林展开式；

若，则函数无法展开成麦克劳林级数。

【例1】将函数展开成麦克劳林级数。

解：

于是得麦克劳林级数

而

故

对于任意 ，有

这里是与无关的有限数， 考虑辅助幂级数

的敛散性。 由比值法有

故辅助级数收敛，从而一般项趋向于零，即

因此 ，故

【例2】将函数在处展开成幂级数。

解：

于是得幂级数

容易求出，它的收敛半径为

对任意的，有

由例一可知，，故

因此，我们得到展开式

2、间接展开法

利用一些已知的函数展开式以及幂级数的运算性质( 如：加减，逐项求导，逐项求积)将所给函数展开。

【例3】将函数展开成的幂级数。

解：对展开式

两边关于逐项求导， 得

【例4】将函数展开成的幂级数。

解：

而

将上式从到逐项积分得

当时，交错级数

收敛。

故

下面，我们介绍十分重要牛顿二项展开式

【例5】将函数展开成的幂级数，其中为任意实数。

解：

于是得到幂级数

因此，对任意实数，幂级数在内收敛。

下面，我们证明，该幂级数收敛的和函数就是函数。

设上述幂级数在内的和函数为，即

两边同乘以因子，有

即

引入辅助函数

因此，在内，我们有展开式

注记

¶在区间端点处的敛散性，要看实数的取值而定，这里，我们不作进一步地介绍。

·若引入广义组合记号 ，牛顿二项展开式可简记成

最后，我们举一个将函数展开成的幂级数形式的例子。

【例6】将函数展开成的幂级数。

解：作变量替换，则 ，有

而

于是