§11.6
函数的幂级数展开式的应用
一、近似计算
利用函数的幂级数展开式，可以进行近似计算。
1、一些近似计算中的术语
Œ误差不超过
设
为精值，而
为近似值，则
表示与之间的绝对误差。
误差不超过( 
) 意指：
近似值与精值之差，在小数点后的
位是完全一样的，仅在小数点后的第
位相差不超过一个单位。
例如：
，
有时，也将误差不超过说成：精确到小数点后位。
截断误差(或方法误差)
函数
用泰勒多项式
来近似代替，则该数值计算方法的截断误差是
¸舍入误差
用计算机作数值计算，由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，用这些近似表示的数据作计算，又可能造成新的误差，这种误差称为舍入误差。
例如，用3.14159 近似代替 p，产生的误差
d =p - 3.14159
= 0.0000026L
就是舍入误差。
2、根式计算
【例1】计算
的近似值( 精确到小数四位)。
求根式的近似值，要选取一个函数的幂级数展开式,可选牛顿二项展开式
要利用此式，需要将表示成
的形式，通常当
较小时，计算效果会较好。
这里，可取
，
。
解：利用二项展开式，有
如果我们截取前四项来作计算， 则
@
由于
的系数
是单调递减的，其截断误差可如下估计
@
注明：
Ê表达式也可选其它形式，如
；
Ë在数列的极限理论学习中，我们已形究过数列
，它单调下降，下界为，且
利用此迭代算式,编写Matlab程序gs1101.m,运行此程序，更容易获得的高精度近似值。
3、对数的计算
【例2】计算
的近似值(精确到小数后第4位)。
解：我们已有展开式
且 
利用此数项级数来计算的近似值，理论上来说是可行的。其部分和
的截断误差为
欲使精度达到
，需要的项数
应满足
，即
，亦即，应要取到10000项，这实在是太大了。
运行Matlab程序gs1102.m,取级数前一万项(n=10000)来作近似计算，可获得下表。并仔细观察项数与所求近似值对照表与计算速度。
|
截取项数 |
ln2近似值 |
|
9900 |
0.6930971330 |
|
9991 |
0.6931972231 |
|
9992 |
0.6930971430 |
|
9993 |
0.6931972131 |
|
9994 |
0.6930971530 |
|
9995 |
0.6931972031 |
|
9996 |
0.6930971631 |
|
9997 |
0.6931971931 |
|
9998 |
0.6930971731 |
|
9999 |
0.6931971831 |
|
10000 |
0.6930971831 |
由上述程序的运行与结果，有几点感受
Ê部分和的项数取得太大，达到了一万；
Ë其近似值仅有小数点后三位是精确的；
Ì项数增加几十项，并未提供多少有效位数字；
Í计算花费了太多的时间。
这迫使我们去寻找计算ln2更有效的方法。
将展开式
中的换成
，得
两式相减，得到不含有偶次幂的展开式
令
，解出
。以代入得
再对此数项级数编程Matlab下的计算程序gs1103.m，运行该程序可获得项数与所求近似值对照表如下
|
截取项数 |
ln2近似值 |
|
4 |
0.69313475733229 |
|
5 |
0.69314604739083 |
|
6 |
0.69314707375979 |
|
7 |
0.69314717025601 |
|
8 |
0.69314717954824 |
|
9 |
0.69314718045924 |
|
10 |
0.69314718054981 |
|
11 |
0.69314718055892 |
|
12 |
0.69314718055984 |
|
13 |
0.69314718055993 |
|
14 |
0.69314718055994 |
|
15 |
0.69314718055994 |
|
16 |
0.69314718055995 |
|
17 |
0.69314718055995 |
|
18 |
0.69314718055995 |
由表可发现，计算速度大大提高，近似值的精度有十分显著的改进，这种处理手段通常称作幂级数收敛的加速技术。
4、p 的计算
在小学数学学习中，我们就已接触到了圆周率p，可对它的计算却从未真正做过。现在是我们了却这一夙愿的时候了。
由展开式
两边积分，有
令
，则
，于是有
利用此式可以进行计算，效果(速度与精度)也不错，只是需要
的值。借助三角公式，作适当地变形，可构造出不需要计算表达式。
令 
，有
据上式，编写Matlab程序gs1104.m,运行它可获得如下结果。
|
截取项数 |
p近似值 |
|
10 |
3.141592579606 |
|
11 |
3.141592670451 |
|
12 |
3.141592649717 |
|
13 |
3.141592654485 |
|
14 |
3.141592653382 |
|
15 |
3.141592653638 |
|
16 |
3.141592653578 |
|
17 |
3.141592653592 |
|
18 |
3.141592653589 |
|
19 |
3.141592653590 |
|
20 |
3.141592653590 |
5、定积分的近似计算
【例3】计算定积分
的近似值，精确到0.0001。
解：因
，所给积分不是广义积分，只需定义函数在
处的值为1，则它在
上便连续了。
展开被积函数，有
在区间上逐项积分，得
因为第四项
所以可取前三项的和作为积分的近似值
对上述级数展开式，我们编写了Matlab程序gs1105.m,运行此程序，可给出截取级数任意项时，此定积分含有更多位有效数值的近似值。
|
截取项数 |
定积分的近似值 |
|
1 |
1.00000000000000 |
|
2 |
0.94444444444444 |
|
3 |
0.94611111111111 |
|
4 |
0.94608276643991 |
|
5 |
0.94608307263235 |
|
6 |
0.94608307035488 |
|
7 |
0.94608307036723 |
|
8 |
0.94608307036718 |
|
9 |
0.94608307036718 |
|
10 |
0.94608307036718 |
二、欧拉公式
设有复数项级数为
(1)
其中
为实常数或实函数。如果实部所成的级数
(2)
收敛于和
，并且虚部所成的级数
(3)
收敛于和
，就说级数(1)收敛且其和为
。
如果级数(1)各项的模所构成的级数
(4)
收敛，由于
则级数(2)、(3)绝对收敛，从而级数(1)收敛，这时就说级数(1)绝对收敛。
考察复数项级数
(5)
它的模所形成的级数
绝对收敛。因此，级数(5)在整个复平面上是绝对收敛的。
在轴上(
)，它表示指数函数
，在整个复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记作
。于是定义为
(6)
当时，
为纯虚数
，(6)式成为
把
换写为，上式变为
(7)
这就是欧拉公式。
应用公式(7)，复数可以表示为指数形式
(8)
其中：
是的模，
是的辐角。
在(7)式中把换为
，又有
与(7)相加、相减，得
(9)
这两个式子也叫做欧拉公式。
(7)式与(9)式揭示了三角函数与复变量指数函数之间的一种联系。
根据定义(6)
并利用幂级数的乘法，我们不难验证
特殊地，取
为实数，
为纯虚数，则有
这就是说，复变量指数函数
在
处的值是模为
、辐角为的复数。