§11.9 正弦级数和余弦级数
一、奇函数偶函数的傅立叶级数
一般说来,一个函数的傅立叶级数既含有正弦项,又含有余弦项。但是,有些函数的傅立叶级数只含有正弦项或只含有余弦项,究其原因,它与所给函数的奇偶性有关。
【定理】以为周期的奇函数
展开成傅立叶级数时,它的傅立叶系数适合:
而以为周期的偶函数
展开成傅立叶级数时,它的傅立叶系数适合:
证 设是以
为周期的偶函数,则
,从而
又因是
上的奇函数,故
类似地可证明定理的第二部分。
该定理告诉我们:
1、如果为奇函数,那么它的傅立叶级数是只含有正弦项,不含常数项和余弦项的正弦级数
2、如果为偶函数,那么它的傅立叶级数是只含有常数项和余弦项,不含正弦项的余弦级数
【例1】设是周期为
的周期函数,它在
上的表达式为
,将它展开成傅立叶级数。
解:函数的图形如下:
是周期为
的奇函数,因此
在点
不连续,据收敛定理,
的傅立叶展开式为
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
如果仅给出函数在
上的定义,如何将它展开成正弦级数或余弦级数呢?
解决该问题的具体步骤如下:
1、在上重新定义新函数
,且
在
上成为奇函数(或偶函数),这种定义
的方式称为是对
的奇延拓(或偶延拓)。
2、将以
为周期进行周期延拓,所得函数的傅立叶展开式必为正弦级数(或余弦级数)。
3、据的傅立叶展开式的成立区间,限制
属于
、
、
中的某一个,此时
,这样便得到了
的正弦级数(或余弦级数)。
【例2】将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。
解:对进行奇延拓,得函数
其傅立叶系数如下:
傅立叶级数为 ,据收敛定理有:
在处,它收敛于
;
在处,它收敛于
;
在内,它收敛于
。
故的傅立叶正弦级数展开式为
对进行偶延拓,可得函数
其傅立叶系数为
傅立叶级数为 , 据收敛定理有:
在处,它收敛于
;
在内,它收敛于
。
故的傅立叶余弦级数展开式为