§12.2 可分离变量的微分方程

【定义】如果一阶微分方程能化成

Œ

的形式，那么原方程称之为可分离变量的微分方程。

为讨论这类微分方程的求解，我们先看两个引例

对于一阶微分方程

只需将上式两端积分就得到了这个方程的通解

但是，并非所有的一阶微分方程都能这样求解。

例如，对于一阶微分方程

就不能直接两端取积分求出它的通解。原因是方程右端含有未知函数，积分求不出来。为了解决这个困难，在方程的两端同乘以，使方程变为

这样，变量与被分离在等式的两端，然后两端积分得

如此得到的函数是原来的微分方程的解吗?

直接验证：对方程两边关于求导，有

可见，它确实是原方程的通解。

下面讨论可分离变量微分方程

Œ

的求解。

假定函数和是连续的。

设是方程Œ的解，将它代入方程得到恒等式

将上式两端积分有

引入变量替换，得

设及依次为及的原函数，于是有



因此，方程Œ的解满足关系式。

反之，如果是式所确定的隐函数，那未在的条件下，据隐函数的直接求导法有

因此，函数满足方程Œ。

综合上述讨论有

如果可分离变量方程Œ中的和连续，且，那么Œ式两端积分后得到的关系式，它用隐式的形式给出了方程Œ的解。

由于式含有任意常数，故式叫做微分方程的隐式通解( 当时，式所确定的隐函数也可认为是方程Œ的解)。

【例1】设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时()速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。

解：设伞下落速度为，在下落时，同时受到重力与阻力的作用，重力大小为，方向与一致;阻力大小为(为比例系数 )，方向与相反，从而伞所受外力为

据牛顿第二运动定律 ，得到函数应满足微分方程

方程是可分离变量的，分离变量得

两端积分，有

其中

由初始条件 ，有

于是所求的函数为

【例2】有高为100厘米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为1平方厘米，开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里的水面的高度( 水面与孔口中心间的距离 )随时间变化的规律。

解：由水力学知道，水从孔口流出的流量( 即通过孔口横截面的水的体积对时间的变化率 )可用下列公式计算

这里，为流量系数，为孔口横截面面积，为重力加速度。

现在，孔口横截面面积为

另一方面，设在微小时间间隔内，水面高度由降至，可得到

其中是时刻时的水面半径，右端置负号是由于，而。

如图，

得到微分方程

及初始条件

方程是可分离变量的方程

将初始条件代入，定出常数。

把值代入并化简，得

【注记】

本例通过对微小量的分析，得到了微分方程。这种微小量分析法，是建立微分方程的一种常用方法。