§12.5  全微分方程

一、定义

一阶微分方程写成

                            Œ

形式后,如果它的左端恰好是某一函数的全微分,即

       

则方程Œ就叫做全微分方程

二、全微分方程的求解

设方程Œ是一个全微分方程,则存在二元函数,使得

 

方程Œ可写成                                      

如果Œ的解,那么这个解也满足方程,故

因此 

这表明,Œ的解是由方程所确定的隐函数。

反过来,若方程确定了一个可微分的隐函数

   

两端对求导得

 

 

这表明,由方程所确定的隐函数是方程Œ的解。

综合上述两点, 我们有结论

全微分方程Œ的解是由所确定的隐函数,而由所确定的隐函数一定是方程Œ的解。

因此,若方程Œ的左端是函数的全微分,那么它的通解为

其中是任意常数。

三、方程Œ是全微分方程的条件

在单连通域内具有一阶连续偏导数,则方程Œ成为全微分方程的充要条件为

                                             Ž

内恒成立。

四、全微分函数的求法

当条件Ž满足时,全微分函数可以通过对坐标的曲线积分获得

【例1】求解

解:这里

所以这是全微分方程,有

于是,方程的通解为

五、积分因子

当条件不能满足时,方程Œ

就不是全微分方程。

如果找得到一个函数,使方程

成为全微分方程,则称函数称为方程Œ积分因子

例如方程 ,有

故该方程不是全微分方程。

但方程两端乘上因子以后,方程 

变成为全微分方程。事实上

因此,是上述方程的一个积分因子。

一般说来,积分因子的确定并不简单,而且积分因子往往不唯一的。不难验证也是上述方程的积分因子。

如果对函数的微分运算十分熟练,往往可以通过观察得到积分因子

【例2】用观察法求下列方程的积分因子, 并求其通解

1

2

1是一个积分因子,乘上该因子之后,方程成为

 

故通解为 

2是一个积分因子

故通解为