§8.3
全微分
一、全微分的定义
给定二元函数,且
均存在,由一元微分学中函数增量与微分的关系,有
上述二式的左端分别称之为二元函数对
或
的偏增量,而右端称之为二元函数
对
或
的偏微分。
为了研究多元函数中各个自变量都取得增量时,因变量所获得的增量,即全增量的问题,我们先给出函数的全增量的概念。
【定义】 设二元函数在点
的某邻域内有定义,点
为该邻域内的任意一点,则称这两点的函数值之差
为函数在点处对应于自变量增量
与
的全增量,记作
。
即 (1)
一般说来,全增量的计算往往较复杂,参照一元函数微分的做法,我们希望用自变量增量
与
的线性函数来近似地代替,特引入下述定义。
【定义】如果函数在点
的全增量
可表示成为
(2)
其中,,
为不依赖于
与
,而仅
与
有关,
则称函数在点
处可微分。
而称为函数
在点
处的全微分,记作
二、函数可微分的条件
【定理一】(必要条件)
如果函数在点
处可微分,则函数在点
处的偏导数
,
必定存在,且函数在点
的全微分为
(3)
证明:设函数在点
可微分。于是,对点
某一邻域内的任意一点
,(2)式总成立。
特别地,当时,(2)式也成立,这时
,即
于是
从而,偏导数存在且等于
。
同理可证
故(3)式成立。
【定理二】(充分条件)
如果函数的偏导数
和
在点
连续,则函数在该点可微分。
证明:因在点
的偏导数
,
连续,故在点
的某一邻域内
,
存在。
设为该邻域内任意一点,则
应用拉格朗日中值定理有
又在点
连续,于是
,其中
。
于是
同理可证
,其中
.
于是,全增量可表示成为
而
当,即
时,它是趋近于零的。
因此
故函数
在点
可微分。
三、几个关系
(1)、若函数在点
处可微分,则函数在该点连续。
事实上,
则
。
注意到
等价
。
(2)、函数的偏导数
,
存在只是函数全微分存在的必要条件,而不是充分条件。
【反例一】函数
在点处有
类似地
从而
考虑点沿直线
趋近于
,则
它不能随而趋近于
,即当
时,
并不是一个较高阶的无穷小,因此,函数在
点的全微分不存在。
(3)、若函数在点
可微分,则偏导数
,
在该点存在但不一定连续。
【反例二】函数
在点可微分,但偏导数在点
处不连续。
证明:
( 当 时 )
故函数在
处的微分存在,且
。
而
当点沿直线
趋向于时
,极限
不存在。故
不存在,
在点
处不连续。
综合上述讨论,我们有结论
最后,我们指出:上述概念、定理及结论均要相应地推广到二元以上的函数。习惯上,我们用记
,
记
,并称为自变量
,
的微分,这样函数的全微分可写成
(4)
通常,我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和,即(4)式称之为二元函数微分的叠加原理。
叠加原理也适用于二元以上函数的情形,如果三元函数可微分,那么
【例1】求函数 的全微分。
解: 因
,
,
则
【例2】计算函数 在点
处的全微分。
解: ,
,
故