§8.4 多元函数求导法则

【定理】若函数及都在点可导;

函数在对应点具有连续偏导数,

则复合函数在点可导,且其导数为

(1)

证明:设获得增量,这时的对应增量为,函数的对应增量为。

据假定,函数在点具有连续偏导数,从而有

这里,当时,。

上式两边除以得

而当时,有 ,从而

所以

故复合函数 在点可导,其导数可用(1)式计算。

用同样的方法,可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。

例如, 设 与 复合而得到

函数 。

若在点可导,

对具有连续偏导数,

则复合函数 在点可导, 且

(2)

在公式(1)与(2)中的导数称为全导数。

上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。

例如, 设与 复合而得到

函数 ,

若 在点 具有对及的偏导数,

函数在对应点具有连续偏导数,

则在点的两个偏导数存在, 且

(3)

事实上,求时,看作常量,因此中间变量及仍可看作一元函数而应用上述定理。但均是的二元函数,所以应把(1)式中的直导数记号改为偏导数的记号,再将换成,这样便得到了(3)式。

类似地, 设及均在点具有对及的偏导数,而函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数

在点的两个偏导数都存在,且

(4)

例如,若有连续偏导数,而偏导数存在,则复合函数 可看作上述情形中当的特殊情形, 因此

(4)式变成

等式两边均出现了或,尽管记号一样,但其意义有本质的差别,以第一式加以阐明:

左边的是将复合函数中的看作常数,而对求偏导数；

右边的是把函数中的及看作常数,而对求偏导数。

因此,为了避免麻烦, 我们往往将上述两式的形式写为

由该复合函数变量间的关系链，可对此求（偏）导数法则作如下解释：

求,可沿第一条线路对求导, 再沿第二条线路对求导, 最后把两个结果相加。

而沿第一条线路对求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的函数,求导结果自然是 ( 这与一元复合函数求导法则很类似)；

而沿第二条线路对求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的函数,求导结果自然是。

上述变量关系图象一根链子,它将变量间的相互依赖关系形象地展示出来。对某个变量求导,就是沿企及该变量的各条线路分别求导,并把结果相加,这一法则称之为锁链法则。

这一法则可简单地概括为

【例1】设 , 而 , , 求和。

解:

【例2】设而,求与。

解: