§8.6 微分法在几何上的应用

一、空间曲线的切线与法平面

1、曲线由参数方程给出的情形

设空间曲线的参数方程为

(1)

假定(1)式中的三个函数均可导。

考虑上对应于的一点及对应于的邻近一点,其割线的方程为

对等式同除以得

当时,,曲线在点处的切线方程为

(2)

这里自然假定了 不能都为零。

切线的方向向量称为曲线的切向量,向量

就是曲线在点处的一个切向量。

过点与切线垂直的平面称为曲线在点处的法平面,它是过点,以为法向量的平面,此法平面方程为

(3)

2、曲线由特殊参数方程给出的情形

此方程可看作

若在处可导,则,曲线在点处的切线方程为

(4)

曲线在点处的法平面方程为

(5)

3、曲线由一般方程给出的情形

是曲线上的一点,此函数方程组可确定是的隐函数,即曲线可用(隐式)方程 来表示。

由第2部分的讨论,现在的关键是求。

将看作的隐函数，方程两边分别对求导数,可得

ð

ð

ð

ð ð

类似地,有

曲线在点处的切向量本来为,但也可取向量

即

曲线的切线方程为

(6)

曲线的法平面方程为

(7)

当然,上述推导需要一些条件,具有一阶连续偏导数,且

中至少有一个不为零。

【例1】求曲线

在点处的切线方程与法平面方程。

解:

曲线的切线方程为

曲线的法平面方程为

二、曲面的切平面与法线

1、曲面方程由给出的情形

设曲面由方程

(9)

给出,是上的一点,假设函数的偏导数在该点连续且不同时为零。

在上,过点任意引一条曲线,设它的参数方程为

对应于参数,且不全为零。

则曲线在点的切线方程为

下证事实:

上过点且具有切线的任何曲线 ,它们在点处的切线均位于同一平面。

因为曲线在曲面上,故有

据假设有 ，即

(10)

引入向量

(10)式表明：。

因为是过点且在上的任意一条曲线,它们在点的切线均垂直于同一非零向量,所以,上过点的一切曲线在点的切线都位于同一个平面上。

这个平面称为曲面在点的切平面,其切平面方程为

(11)

过点而垂直于切平面(11)的直线称为曲面在该点的法线,其法线方程为:

(12)

曲面在一点的切平面之法向量称为曲面在该点的法向量,因此,向量

便是曲面在点处的一个法向量。

2、曲面方程由给出的情形

若曲面由方程

给出,令

则

当偏导数在点连续时,曲面在点的切平面方程为

(14)

曲面的法向量有两个

对于第一式,法向量的方向余弦为

由,法向量与轴正向的夹角应为锐角,故此法向量的指向是朝上的。自然地,另一个法向量的指向是朝下的。

(13)式具有鲜明的几何意义

方程的右端恰好是函数在点处的全微分；

方程的左端是切平面上点的竖坐标的增量。

特别地,当 时

曲面在点处的切平面为,此切平面平行于坐标面,即曲面在点处具有水平的切平面。

【例2】求球面在点处的切平面及法线方程。

解:

切平面方程为

法线方程为

因为点在法线上,可见法线通过球心。