§9.1 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

1、曲顶柱体的体积

设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面。

当时,在上连续且,以后称这种立体为曲顶柱体。

曲顶柱体的体积可以这样来计算:

(1)、用任意一组曲线网将区域分成个小区域 ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体 。

（假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代表第个小区域,又表示它的面积值,既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)

从而 (将化整为零)

(2)、由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是

(以不变之高代替变高, 求的近似值)

(3)、整个曲顶柱体的体积近似值为

(积零为整, 得曲顶柱体体积之近似值)

(4)、为得到的精值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:

一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。

所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。

设个小区域直径中的最大者为, 则

(取极限让近似值向精确值转化)

2、平面薄片的质量

设有一平面薄片占有 面上的区域, 它在处的面密度为,这里,而且在上连续,现计算该平面薄片的质量。

将分成个小区域 用记的直径,既代表第个小区域又代表它的面积。

当很小时, 由于连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第小块区域的近似质量可取为

于是

两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念___ 二重积分。

3、二重积分的定义

设是闭区域上的有界函数, 将区域分成个小区域

,

其中:既表示第个小区域, 也表示它的面积,表示它的直径。

作乘积

作和式

若极限 存在,则称此极限值为函数在区域上的二重积分,记作 。

即

其中: 称之为被积函数,

称之为被积表达式,

称之为面积元素,

称之为积分变量,

称之为积分区域,

称之为积分和式。

4、几个事实

(1)、二重积分的存在定理

若在闭区域上连续, 则在上的二重积分存在。

声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。

(2)、中的面积元素象征着积分和式中的。

由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作(并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 。

(3)、若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积。

二、二重积分的性质

二重积分与定积分有相类似的性质

1、【线性性】

其中:是常数。

2、【对区域的可加性】

若区域分为两个部分区域,则

3、若在上,,为区域的面积,则

几何意义: 高为的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。

4、若在上,,则有不等式

特别地,由于，有

5、【估值不等式】

设与分别是在闭区域上最大值和最小值,是的面积,则

6、【二重积分的中值定理】

设函数在闭区域上连续,是的面积,则在上至少存在一点,使得

【例1】用二重积分的定义计算下述二重积分，并利用二重积分的几何意义验证你的计算结果。

解:在上连续,故二重积分存在。用平行于轴或轴的直线

将剖分成个小矩形区域,

每个小区域的面积为 ,

在小区域上选取点为格点,

作积分和式

小区域的直径均为

该曲顶柱体的图形为

据二重积分的几何意义,该抛物柱面的体积为

【例2】估计二重积分 的值,是圆域。

解: 求被积函数在区域上可能的最值

是驻点,且 ；

在边界上,

,,

于是有