§9.1
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
1、曲顶柱体的体积
设有一空间立体,它的底是
面上的有界区域
,它的侧面是以
的边界曲线为准线,而母线平行于
轴的柱面,它的顶是曲面
。
当时,
在
上连续且
,以后称这种立体为曲顶柱体。
曲顶柱体的体积可以这样来计算:
(1)、用任意一组曲线网将区域分成
个小区域
,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于
轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体
分划成
个小曲顶柱体
。
(假设所对应的小曲顶柱体为
,这里
既代表第
个小区域,又表示它的面积值,
既代表第
个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)
从而 (将
化整为零)
(2)、由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是
(以不变之高代替变高, 求的近似值)
(3)、整个曲顶柱体的体积近似值为
(积零为整, 得曲顶柱体体积之近似值)
(4)、为得到的精值,只需让这
个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:
一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。
所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。
设个小区域直径中的最大者为
, 则
(取极限让近似值向精确值转化)
2、平面薄片的质量
设有一平面薄片占有 面上的区域
, 它在
处的面密度为
,这里
,而且
在
上连续,现计算该平面薄片的质量
。
将分成
个小区域
用
记
的直径,
既代表第
个小区域又代表它的面积。
当很小时, 由于
连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第小
块区域的近似质量可取为
于是
两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念___ 二重积分。
3、二重积分的定义
设是闭区域
上的有界函数, 将区域
分成个小区域
,
其中:既表示第
个小区域, 也表示它的面积,
表示它的直径。
作乘积
作和式
若极限 存在,则称此极限值为函数
在区域
上的二重积分,记作
。
即
其中: 称之为被积函数,
称之为被积表达式,
称之为面积元素,
称之为积分变量,
称之为积分区域,
称之为积分和式。
4、几个事实
(1)、二重积分的存在定理
若在闭区域
上连续, 则
在
上的二重积分存在。
声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。
(2)、中的面积元素
象征着积分和式中的
。
由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域
,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将
记作
(并称
为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为
。
(3)、若,二重积分表示以
为曲顶,以
为底的曲顶柱体的体积。
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有相类似的性质
1、【线性性】
其中:是常数。
2、【对区域的可加性】
若区域分为两个部分区域
,则
3、若在上,
,
为区域
的面积,则
几何意义: 高为的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
4、若在上,
,则有不等式
特别地,由于,有
5、【估值不等式】
设与
分别是
在闭区域
上最大值和最小值,
是
的面积,则
6、【二重积分的中值定理】
设函数在闭区域
上连续,
是
的面积,则在
上至少存在一点
,使得
【例1】用二重积分的定义计算下述二重积分,并利用二重积分的几何意义验证你的计算结果。
解:在上连续,故二重积分存在。用平行于
轴或
轴的直线
将剖分成
个小矩形区域
,
每个小区域的面积为
,
在小区域上选取点
为格点
,
作积分和式
小区域的直径均为
该曲顶柱体的图形为
据二重积分的几何意义,该抛物柱面的体积为
【例2】估计二重积分 的值,
是圆域
。
解: 求被积函数在区域
上可能的最值
是驻点,且
;
在边界上,
,
,
于是有