§9.3
二重积分的应用
定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件:
1、所要计算的某个量对于闭区域
具有可加性(即:当闭区域
分成许多小闭区域
时, 所求量
相应地分成许多部分量
,且
)。
2、在内任取一个直径充分小的小闭区域
时, 相应的部分量
可近似地表示为
, 其中
, 称
为所求量
的元素, 并记作
。
(注: 的选择标准为:
是
直径趋于零时较
更高阶的无穷小量)
3、所求量可表示成积分形式
一、曲面的面积
设曲面由方程
给出,
为曲面
在
面上的投影区域,函数
在
上具有连续偏导数
和
,现计算曲面的面积
。
在闭区域上任取一直径很小的闭区域
(它的面积也记作
),在
内取一点
,对应着曲面
上一点
,曲面
在点
处的切平面设为
。 以小区域
的边界为准线作母线平行于
轴的柱面, 该柱面在曲面
上截下一小片曲面,在切平面
上截下一小片平面,由于
的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。
曲面在点
处的法线向量( 指向朝上的那个 )为
它与轴正向所成夹角
的方向余弦为
而
所以
这就是曲面的面积元素, 故
故
【例1】求球面含在柱面
(
) 内部的面积。
解:所求曲面在面的投影区域
曲面方程应取为 , 则
,
曲面在面上的投影区域
为
据曲面的对称性,有
若曲面的方程为或
,可分别将曲面投影到
面或
面,设所得到的投影区域分别为
或
,类似地有
或
二、平面薄片的重心
1、平面上的质点系的重心
其质点系的重心坐标为
,
2、平面薄片的重心
设有一平面薄片,占有面上的闭区域
,在点
处的面密度为
,假定
在
上连续,如何确定该薄片的重心坐标
。
这就是力矩元素,于是
又平面薄片的总质量
从而,薄片的重心坐标为
特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则
十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。
【例2】设薄片所占的闭区域为介于两个圆
,
()之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。
解: 由的对称性可知:
而
故
三、平面薄片的转动惯量
1、平面质点系对坐标轴的转动惯量
设平面上有个质点, 它们分别位于点
处, 质量分别为
。
设质点系对于轴以及对于
轴的转动惯量依次为
2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量
设有一薄片,占有面上的闭区域
,在点
处的面密度为
, 假定
在
上连续。 现要求该薄片对于
轴、
轴的转动惯量
,
。
与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为
【例3】求由抛物线及直线
所围成的均匀薄片(面密度为常数
)对于直线
的转动惯量。
解: 转动惯量元素为
四、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片,占有面上的闭区域
,在点
处的面密度为
,假定
在
上连续,现计算该薄片对位于
轴上点
处的单位质量质点的引力。
于是,薄片对质点的引力在三个坐标轴上的分力
的力元素为
故