§9.4 三重积分的概念及其计算法

一、三重积分的定义

设是空间闭区域上的有界函数,将任意地分划成个小区域

其中表示第个小区域,也表示它的体积。

在每个小区域上任取一点,

作乘积

作和式

以记这个小区域直径的最大者,

若极限 存在,

则称此极限值为函数在区域上的三重积分,记作

,

即

其中叫体积元素。

自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成。

二、三重积分的存在定理

若函数在区域上连续, 则三重积分存在。

特别指出:二重积分的一些术语、性质可相应地移植到三重积分。

三、三重积分的物理意义

如果表示某物体在处的质量密度,是该物体所占有的空间区域,且在上连续,则和式 就是物体质量的近似值, 该和式当时的极限值就是该物体的质量。

故

特别地, 当时,

四、三重积分的计算法

假设积分区域的形状如下图所示

在面上的投影区域为, 过上任意一点, 作平行于轴的直线穿过内部, 与边界曲面相交不多于两点。 亦即, 的边界曲面可分为上、下两片部分曲面。

,

其中 , 在上连续, 并且 。

如何计算三重积分呢?

不妨先考虑特殊情况,则

即

一般情况下,类似地有

显然积分只是把看作的函数在区间上对求定积分, 因此,其结果应是的函数, 记

那么

如上图所示, 区域可表示为

从而

综上讨论, 若积分区域可表示成

则

这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量, 次对,最后对的三次积分。

如果平行于 轴且穿过内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用的方法, 将剖分成若干个部分,(如),使在上的三重积分化为各部分区域( )上的三重积分,当然各部分区域 () 应适合对区域的要求。

例如,求,其中为 。

将面将区域剖分成上下两个部分区域

则

【例1】计算, 其中为球面及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体。

解:(1)、画出立体的简图

(2)、找出立体在某坐标面上的投影区域并画出简图

在面上的投影区域为

(3)、确定另一积分变量的变化范围

在已知积分变量的变化范围为的情况下, 再确定另一积分变量的变化范围。 在内任取一点, 作一过此点且平行于轴的直线穿过区域, 则此直线与边界曲面的两交点之竖坐标即为的变化范围。

(4)、选择一种次序,化三重积分为三次积分