§9.5
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。
一、利用柱面坐标计算三重积分
1、柱面坐标
设为空间的一点,该点在
面上的投影为
,
点的极坐标为
,则
三个数称作点
的柱面坐标。
规定的取值范围是
,
,
柱面坐标系的三组坐标面分别为
,即以
轴为轴的圆柱面;
,即过
轴的半平面;
,即与
面平行的平面。
点的直角坐标与柱面坐标之间有关系式
(1)
2、三重积分在柱面坐标系中的计算公式
用三组坐标面,
,
,将
分割成许多小区域,除了含
的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。
考察由各取得微小增量
所成的柱体,该柱体是底面积为
,高为
的柱体,其体积为
这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到(1)式有
(2)
(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。
(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量的三次积分,其积分限要由
在
中的变化情况来确定。
3、用柱面坐标表示积分区域
的方法
(1)、找出在
面上的投影区域
, 并用极坐标变量
表示之;
(2)、在内任取一点
, 过此点作平行于
轴的直线穿过区域, 此直线与
边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成
的函数 )即为
的变化范围。
【例1】求下述立体在柱面坐标下的表示形式
球面
与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分。
由锥面
与平面
所围成的立体。
在
面上的投影区域为
,
其极坐标下的表示形式为
在
的变化范围是
,
即
故
在
面上的投影区域为
,
其极坐标下的表示形式为
在
的变化范围是
即
故
【例2】用柱坐标计算三重积分,其中
是球体
位于第一卦限内的部分。
解:
二、利用球坐标计算三重积分
1、球面坐标
如图所示,空间任意一点也可用三个数
唯一表示。
其中:
为原点
到点
的距离;
为有向线段
与
轴正向所成夹角;
为从正
轴来看自
轴依逆时针方向转到有向线段
的角度,而点
是点
在
面上的投影点。
规定的取值范围为
,
,
不难看出,点的直角坐标与球面坐标间的关系为
(3)
2、球面坐标系的特点
,是以原点为心的球面;
,是以原点为顶,
轴为轴的圆锥面;
,是过
轴的半平面。
粗略地讲, 变量刻划点
到原点的距离,即“远近”;
变量刻划点
在空间的上下位置,即“上下”;
变量刻划点
在水平面上的方位,即“水平面上方位”。
3、三重积分在球面坐标系下的计算公式
用三组坐标面,
,
,将
分划成许多小区域,考虑当
各取微小增量
所形成的六面体,若忽略高阶无穷小,可将此六面体视为长方体,其体积近似值为
这就是球面坐标系下的体积元素。
由直角坐标与球面坐标的关系式(3)有
(4)
(4)式就是三重积分在球面坐标系下的计算公式。
(4)式右端的三重积分可化为关于积分变量的三次积分来实现其计算,当然,这需要将积分区域
用球面坐标
加以表示。
4、积分区域的球面坐标表示法
积分区域用球面坐标加以表示较复杂,一般需要参照的几何形状,并依据球坐标变量的特点来决定。
实际中经常遇到的积分区域是这样的
是一包围原点的立体, 其边界曲面是包围原点在内的封闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方程
,据球面坐标变量的特点有
例如:若是球体
, 则
的球坐标表示形式为
曲面的球坐标方程为
于是
【例3】求曲面与曲面
所围成的立体
的体积。
解:的图形为
下面根据图形及球坐标变量的特点决定的球坐标表示式。
(1)、在
面的投影区域
包围原点,故
变化范围应为
;
(2)、在中
可由
轴转到锥面的侧面,而锥面的半顶角为
,故
的变化范围应为
;
(3)、在 内任取一值
, 作射线穿过
,它与有两个交点,一个在原点处,另一个在曲面
上,它们可分别用球坐标表示为
及
。
因此,
故
也可以利用柱坐标来计算该立体的体积。