第二章 　极限与连续

§１　数列的极限与无穷大量

u 引 言

为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势。例如有这么一个变量，它开始是１，然后为如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零。我们就说，这个变量的极限为０。所以，我们有必要对极限作深入研究。

一 数列极限的定义

１ 数列的定义

定义：若函数的定义域为全体正整数集合，则称为数列。

注：记，则数列就可写作为：，简记为。

２ 数列的例子

（1）；（2）（3）

2、什么是数列极限

１．引言

容易看出，数列的通项随着的无限增大而无限地接近于零。

一般地说，对于数列，若当无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限。不具有这种特性的数列就称为发散数列。

据此可以说，数列是收敛数列，０是它的极限。

数列都是发散的数列。

需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。

以为例，可观察出该数列具以下特性：

随着n的无限增大，无限地接近于1随着n的无限增大，与１的距离无限减少随着n的无限增大，无限减少会任意小，只要n充分大。

如：要使，只要即可；

　　要使，只要即可；

任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项，从该项之后，。即，当时，。

如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：，取即可。这样当时，。

综上所述，数列的通项随的无限增大，无限接近于１，即是对任意给定正数，总存在正整数Ｎ，当时，有。此即以１为极限的精确定义，记作或。

2.数列极限的定义

定义1 设为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有, 则称数列收敛于a, a称为数列的极限, 并记作或.

若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。

[问题]：如何表述没有极限？

３。举例说明如何用定义来验证数列极限

　　例：　证明.

例：　证明.

例：证明　.

例：证明　.

例：证明　，其中.

４ 关于数列的极限的定义的几点说明

（１） 关于：① 的任意性；②的暂时固定性；③的多值性；④正由于是任意小正数，我们可以限定小于一个确定的正数。

（２） 关于Ｎ：① 相应性；②Ｎ多值性。

（３） 数列极限的几何理解： “当时有” 所有下标大于Ｎ的项都落在邻域内；而在之外，数列中的项至多只有Ｎ个（有限个）。

（４） 数列极限的等价定义（邻域定义）：

　　定义 任给，若在之外数列中的项只有有限个，则称数列收敛于极限a.

由此可见：数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响。

例：证明都是发散数列。

二 无穷小数列

在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：

定义２　　若，则称为无穷小数列。

如都是无穷小数列。

数列收敛于a的充要条件：

定理１　数列收敛于的充要条件是为无穷小数列。

三 收敛数列的性质

性质1（保不等式性）设数列与均收敛，若存在正数，使得当时有，则。

性质2（保号性）　若（或），则对任何（或），存在正数Ｎ，使得当时有（或）。

性质3（极限唯一性）　若数列收敛，则它只有一个极限。

性质4（迫敛性）　设收敛数列、都以a为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且.

注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。

例：　求数列的极限。

性质5（有界性）若数列收敛，则为有界数列。

注：数列收敛则必有界，反之未必。例如数列有界，但它不收敛。

四 数列极限的运算

性质６（极限的四则运算法则）　若、为收敛数列，则也都收敛，且有

;

.

若再做假设及，则数列也收敛，且有

.

在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。

例：　求，其中.

例：　求。

五 单调有界数列

在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。下面将重点讨论极限的存在性问题。

定义　若数列的各项满足不等式，则称为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列．

例如：为递减数列；为递增数列。

定理（单调有界定理）　在实数系中，有界且单调数列必有极限。

例：设其中，证明数列收敛。

例：证明下列数列收敛，并求其极限：

例：证明存在。

六 无穷大量的定义

定义：设是一个数列。若当时必有，则称是无穷大量。

几何解析：

例：证明是无穷大量。

定义：设是一个数列。若当时必有，则称是正无穷大量。

定义：设是一个数列。若当时必有，则称是负无穷大量。

七 无穷大量的性质和运算

1、 无穷大量和无穷小量的关系

定理：为无穷大量，当且仅当，为无穷小量，这里要求。

2、 无穷大量的一些运算法则

定理：正无穷大量的和仍是正无穷大量，负无穷大量的和仍是负无穷大量。无穷大量加上有界数列仍是无穷大量。

定理：设为无穷大量，收敛于，则是无穷大量。

§2　函数的极限

一 函数在一点的极限

现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列。

先看下面几个例子：

例：　。当时，，当时，）。

由上例可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质。所以有必要来研究当时，的变化趋势。

定义1　设函数在点的附近有定义，Ａ为定数，若对任给的，使得当时有，则称称Ａ为时的极限，记作或.

注:（１）是结论，是条件，即由推出。

（２）是表示函数与Ａ的接近程度的。

(3) 是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的Ｎ。它的第一个特性是相应性。第二个特性是多值性。

（４）在定义中，只要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数值是否存在，或者取什么样的值。

（５）定义的几何意义。

例：证明　;

二 函数极限的性质和运算

性质1（局部保号性）若，则对任何正数，存在，当时，有；若，则对任何负数，存在，当时有。

性质2（保不等式性）设和都存在，且存在，当时，有。

性质3（唯一性）　若极限存在，则此极限是唯一的。

性质4（迫敛性）　设，且存在，当时有，则。

性质5（局部有界性）若存在，则在的某空心邻域内有界。

性质6（海涅定理）都有。

性质7（四则运算法则）若和都存在，则函数当时极限也存在，且

１）；

２）.

又若，则当时极限也存在，且有 ３）。

性质8 无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。

三 单侧极限

１．引言

　　有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如

或函数在某些点仅在其一侧有定义，如

。

这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？

定义2设函数在点的有近旁有定义，Ａ为定数，若对任给的，使得当时有，则称数Ａ为函数当趋于时的右极限，记作

或或。

类似可给出左极限定义。

注：右极限与左极限统称为单侧极限。

例：　讨论函数在的左、右极限。

例：　讨论在的左、右极限。

函数极限与的关系。

定理１　.

注：利用此可验证函数极限的存在。

四 函数在无限远处的极限

定义3　设为定义在上的函数，Ａ为实数。若对任给的，存在正数，使得当时有 , 则称函数当时以Ａ为极限。记作

或.

类似可定义和。

注：。

例: 按定义证明.

例: 按定义证明１）；２）.

五 函数值趋于无穷大的情形

定义4　设函数在点的附近有定义，若对任给的，使得当时有，则称在点时趋于无穷大，记作。

类似可定义，，。

六 两个常用的不等式和两个重要的极限

1、　的证明

2、的应用

例：求.

例：求.

注：利用归结原则，可求数列极限。如求，直接利用是不严格的；但已知，故取，则，从而由归结原则.

例：求.

3、证明或.

4、　应用

例：烈求.

例：求.

例：求.

§3　连续函数

l 引言

在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。下面我们就来研究这类函数的特点。

一　连续的定义

定义１（在点连续）设函数在某点的附近包括点有定义，若，则称在点连续。

注　　，即“在点连续”意味着“极限运算与对应法则可交换。

例：在处连续。

例：。

例：讨论函数在点x=0处连续性。

注：1）设，——函数在点的增量。

2）等价定义１：函数在点连续。

3) 等价定义２：函数在点连续，当时，。

注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。

总的来讲，函数在点连续的要求是：①在点有定义；②存在；③. 任何一条不满足，在点就不连续。同时，由定义可知，函数在某点是可连续，是函数在这点的局部性质。

５．在点左（右）连续定义

① 定义２设函数在点点的右(左)近旁包括点有定义，若（），则称在点右（左）连续。

② 在点连续的等价刻划

定理1　函数在点连续在点既是右连续，又是左连续。

例：讨论函数在点的连续性。

二 连续函数的性质和运算

定理2（四则运算）若和在点连续，则也都在点连续。

问题　两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？

定理3（复合函数的连续性）若在点连续，记，函数在连续，则复合函数在点连续。

注 1) 据连续性定义，上述定理可表为：.（即函数运算与极限可以交换次序，条件是函数连续，利用它可来求一些函数的极限。）

三 初等函数的连续性

　　定理4　任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。

定理5  一切基本初等函数都是其定义域上连续函数。

2．利用初等函数的连续性可计算极限

例：设，，证明：。

例：求。

四 不连续点的类型

不连续点分类

１） 可移不连续点　若，而在点无定义，或有定义但，则称为的可去间断点。

例如：是函数的可移不连续点。

设是的可移不连续点，且。令，则是的连续点。

２） 第一类不连续点　若存在，但左右极限不相等，则称点为函数的第一类不连续点。

　例如，对，故是它的第一类不连续点。

３） 第二类不连续点　左右极限至少有一不存在的点（即函数至少有一侧极限不存在的点）称为函数的第二类不连续点。

例如，是函数，的第二类不连续点。

五 区间上连续函数的基本性质

性质１（最大、最小值定理）若在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值。

性质２（有界性定理）若在上连续，则在上有界。

注：上述性质成立的条件是充分的，而非必要的。

性质３（介值定理）设在上连续，且。若是介于和之间的任何实数，则至少存在一点，使得。

注　表明若在上连续，又的话，则在上可以取得和之间的一切值。

性质４（根存在定理）　若在上连续，且和异号（），则至少存在一点，使得。

几何意义　若点和分别在轴两侧，则连接Ａ、Ｂ的曲线与轴至少有一个交点。

　例：设在上连续，满足。证明：存在，使得。

提示：构造适当的；构造适当的闭区间。

六　一致连续性

１．一致连续的定义

　　　　定义3（一致连续）　　设为定义在区间上的函数。若对任给的，存在一个，使得对任何，只要，就有，则称函数在区间上一致连续。

２．函数在区间上连续与一致连续的比较

（１） 区别：

定义	函数在连续，，当时，	函数在上一致连续，，当，时，
对的要求	对于上的不同的点，相应的是不同的，换言之，的取值除依赖于外，还与有关，由此记为表示与和有关。	的取值只与有关，而与无关，或者说，存在适合于上所有点的公共的，记作，它对任意的都适用。
性质	与区间中每一点及其附近的情形有关，即只要在区间中每一点，连续就行。也即在每一点中可有适合定义中的，这是局部性质。	要知在整个区间的情形，在整个区间内来找适合定义中的，这种性质称为整体性质。

（２） 关系

若在上一致连续，则在上连续；反之不成立。

定理（康托Cantor定理）　若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。

例：证明　在上一致连续。

例：（１）证明函数在内不一致连续。

（２），证明　在内是一致连续的。

§4　无穷小量与无穷大量的阶

两个无穷小量，哪一个收敛速度更快呢？。

定义1 设当时，均为无穷小量。

1) 若，则称为的高阶无穷小量，记作；

2）若，则称为的同阶无穷小量，记作。

3）若，则称和为等价无穷小量，记作。

4）若，则称为阶无穷小量，称为的主要部分。

注：可类似定义无穷大量。

例：求当时，的阶和主要部分。

注：在求极限过程中，可利用等价无穷小量代换求极限，但应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。

例：求极限。