第二章 极限与连续
§1 数列的极限与无穷大量
u 引 言
为了掌握变量的变化规律,往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势。例如有这么一个变量,它开始是1,然后为如此,一直无尽地变下去,虽然无尽止,但它的变化有一个趋势,这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零。我们就说,这个变量的极限为0。所以,我们有必要对极限作深入研究。
一 数列极限的定义
1 数列的定义
定义:若函数的定义域为全体正整数集合
,则称
为数列。
注:记,则数列
就可写作为:
,简记为
。
2 数列的例子
(1);(2)
(3)
2、什么是数列极限
1.引言
容易看出,数列的通项
随着
的无限增大而无限地接近于零。
一般地说,对于数列,若当
无限增大时,
能无限地接近某一个常数
,则称此数列为收敛数列,常数
称为它的极限。不具有这种特性的数列就称为发散数列。
据此可以说,数列是收敛数列,0是它的极限。
数列都是发散的数列。
需要提出的是,上面关于“收敛数列”的说法,并不是严格的定义,而仅是一种“描述性”的说法,如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。
以为例,可观察出该数列具以下特性:
随着n的无限增大,无限地接近于1
随着n的无限增大,
与1的距离无限减少
随着n的无限增大,
无限减少
会任意小,只要n充分大。
如:要使,只要
即可;
要使,只要
即可;
任给无论多么小的正数,都会存在数列的一项
,从该项之后
,
。即
,当
时,
。
如何找N?(或N存在吗?)解上面的数学式子即得:,取
即可。这样
当
时,
。
综上所述,数列的通项
随
的无限增大,
无限接近于1,即是对任意给定正数
,总存在正整数N,当
时,有
。此即
以1为极限的精确定义,记作
或
。
2.数列极限的定义
定义1
设为数列,a为实数,若对任给的正数
,总存在正整数
,使得当
时有
, 则称数列
收敛于a, a称为数列
的极限, 并记作
或
.
若数列没有极限,则称
不收敛,或称
为发散数列。
[问题]:如何表述没有极限?
3。举例说明如何用定义来验证数列极限
例: 证明.
例: 证明.
例:证明 .
例:证明 .
例:证明 ,其中
.
4 关于数列的极限的定义的几点说明
(1)
关于:①
的任意性;②
的暂时固定性;③
的多值性;④正由于
是任意小正数,我们可以限定
小于一个确定的正数。
(2) 关于N:① 相应性;②N多值性。
(3) 数列极限的几何理解: “当时有
”
所有下标大于N的项
都落在邻域
内;而在
之外,数列
中的项至多只有N个(有限个)。
(4) 数列极限的等价定义(邻域定义):
定义 任给
,若在
之外数列
中的项只有有限个,则称数列
收敛于极限a.
由此可见:数列是否有极限,只与它从某一项之后的变化趋势有关,而与它前面的有限项无关。所以,在讨论数列极限时,可以添加、去掉或改变它的有限项的数值,对收敛性和极限都不会发生影响。
例:证明都是发散数列。
二 无穷小数列
在所有收敛数列中,有一类重要的数列,称为无穷小数列,其定义如下:
定义2 若,则称
为无穷小数列。
如都是无穷小数列。
数列收敛于a的充要条件:
定理1 数列收敛于
的充要条件是
为无穷小数列。
三 收敛数列的性质
性质1(保不等式性)设数列与
均收敛,若存在正数
,使得当
时有
,则
。
性质2(保号性) 若(或
),则对任何
(或
),存在正数N,使得当
时有
(或
)。
性质3(极限唯一性) 若数列收敛,则它只有一个极限。
性质4(迫敛性) 设收敛数列、
都以a为极限,数列
满足:存在正数
,当
时有
,则数列
收敛,且
.
注:迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法,而且也提供了一个求数列极限的工具。
例: 求数列的极限。
性质5(有界性)若数列收敛,则
为有界数列。
注:数列收敛则必有界,反之未必。例如数列有界,但它不收敛。
四 数列极限的运算
性质6(极限的四则运算法则) 若、
为收敛数列,则
也都收敛,且有
;
.
若再做假设及
,则数列
也收敛,且有
.
在求数列的极限时,常需要使用极限的四则运算法则。
例: 求,其中
.
例: 求。
五 单调有界数列
在研究比较复杂的极限问题时,通常分两步来解决:先判断该数列是否有极限(极限的存在性问题);若有极限,再考虑如何计算些极限(极限值的计算问题)。这是极限理论的两基本问题。下面将重点讨论极限的存在性问题。
定义 若数列的各项满足不等式
,则称
为递增(递减)数列。递增和递减数列统称为单调数列.
例如:为递减数列;
为递增数列。
定理(单调有界定理) 在实数系中,有界且单调数列必有极限。
例:设其中
,证明数列
收敛。
例:证明下列数列收敛,并求其极限:
例:证明存在。
六 无穷大量的定义
定义:设是一个数列。若
当
时必有
,则称
是无穷大量。
几何解析:
例:证明是无穷大量。
定义:设是一个数列。若
当
时必有
,则称
是正无穷大量。
定义:设是一个数列。若
当
时必有
,则称
是负无穷大量。
七 无穷大量的性质和运算
1、 无穷大量和无穷小量的关系
定理:为无穷大量,当且仅当,
为无穷小量,这里要求
。
2、 无穷大量的一些运算法则
定理:正无穷大量的和仍是正无穷大量,负无穷大量的和仍是负无穷大量。无穷大量加上有界数列仍是无穷大量。
定理:设为无穷大量,
收敛于
,则
是无穷大量。
§2 函数的极限
一 函数在一点的极限
现在讨论当时,对应的函数值能否趋于某个定数A数列。
先看下面几个例子:
例: 。当
时,
,当
时,
)。
由上例可见,对有些函数,当时,对应的函数值
能趋于某个定数A;但对有些函数却无此性质。所以有必要来研究当
时,
的变化趋势。
定义1 设函数在点
的附近有定义,A为定数,若对任给的
,使得当
时有
,则称称A为
时
的极限,记作
或
.
注:(1)是结论,
是条件,即由
推出。
(2)是表示函数
与A的接近程度的。
(3) 是表示
与
的接近程度,它相当于数列极限的
定义中的N。它的第一个特性是相应性。第二个特性是多值性。
(4)在定义中,只要求函数在
的某空心邻域内有定义,而一般不要求
在
处的函数值是否存在,或者取什么样的值。
(5)定义的几何意义。
例:证明 ;
二 函数极限的性质和运算
性质1(局部保号性)若,则对任何正数
,存在
,当
时,有
;若
,则对任何负数
,存在
,当
时有
。
性质2(保不等式性)设和
都存在,且存在
,当
时,有
。
性质3(唯一性) 若极限存在,则此极限是唯一的。
性质4(迫敛性) 设,且存在
,当
时有
,则
。
性质5(局部有界性)若存在,则
在
的某空心邻域内有界。
性质6(海涅定理)都有
。
性质7(四则运算法则)若和
都存在,则函数
当
时极限也存在,且
1);
2).
又若,则
当
时极限也存在,且有 3)
。
性质8 无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。
三 单侧极限
1.引言
有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同,如
或函数在某些点仅在其一侧有定义,如
。
这时,如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢?
定义2设函数在点
的有近旁有定义,A为定数,若对任给的
,使得当
时有
,则称数A为函数
当
趋于
时的右极限,记作
或
或
。
类似可给出左极限定义。
注:右极限与左极限统称为单侧极限。
例: 讨论函数在
的左、右极限。
例: 讨论在
的左、右极限。
函数极限与
的关系。
定理1 .
注:利用此可验证函数极限的存在。
四 函数在无限远处的极限
定义3 设为定义在
上的函数,A为实数。若对任给的
,存在正数
,使得当
时有
, 则称函数
当
时以A为极限。记作
或
.
类似可定义和
。
注:。
例: 按定义证明.
例: 按定义证明1);2)
.
五 函数值趋于无穷大的情形
定义4 设函数在点
的附近有定义,若对任给的
,使得当
时有
,则称
在点
时趋于无穷大,记作
。
类似可定义,
,
。
六 两个常用的不等式和两个重要的极限
1、 的证明
2、的应用
例:求.
例:求.
注:利用归结原则,可求数列极限。如求,直接利用
是不严格的;但已知
,故取
,则
,从而由归结原则
.
例:求.
3、证明或
.
4、 应用
例:烈求.
例:求.
例:求.
§3 连续函数
l 引言
在数学分析中,要研究种种不同性质的函数,其中有一类重要的函数,就是连续函数。下面我们就来研究这类函数的特点。
一 连续的定义
定义1(在点
连续)设函数
在某
点的附近包括
点有定义,若
,则称
在点
连续。
注 ,即“
在点
连续”意味着“极限运算与对应法则
可交换。
例:在
处连续。
例:。
例:讨论函数在点x=0处连续性。
注:1)设,
——函数
在点
的增量。
2)等价定义1:函数在点
连续
。
3) 等价定义2:函数在点
连续
,当
时,
。
注:一个定义是等价的,根据具体的问题选用不同的表述方式。
总的来讲,函数在点连续的要求是:①
在点
有定义;②
存在;③
. 任何一条不满足,
在点
就不连续。同时,由定义可知,函数在某点是可连续,是函数在这点的局部性质。
5.在点
左(右)连续定义
① 定义2设函数在点
点的右(左)近旁包括
点有定义,若
(
),则称
在点
右(左)连续。
② 在点
连续的等价刻划
定理1 函数在点
连续
在点
既是右连续,又是左连续。
例:讨论函数在点
的连续性。
二 连续函数的性质和运算
定理2(四则运算)若和
在
点连续,则
也都在点
连续。
问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续?
定理3(复合函数的连续性)若在点
连续,记
,函数
在
连续,则复合函数
在点
连续。
注
1) 据连续性定义,上述定理可表为:.(即函数运算与极限可以交换次序,条件是函数连续,利用它可来求一些函数的极限。)
三 初等函数的连续性
定理4 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。
定理5 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数。
2.利用初等函数的连续性可计算极限
例:设,
,证明:
。
例:求。
四 不连续点的类型
不连续点分类
1) 可移不连续点 若,而
在点
无定义,或有定义但
,则称
为
的可去间断点。
例如:是函数
的可移不连续点。
设是
的可移不连续点,且
。令
,则
是
的连续点。
2) 第一类不连续点 若存在,但左右极限不相等,则称点
为函数
的第一类不连续点。
例如,对,
故
是它的第一类不连续点。
3) 第二类不连续点 左右极限至少有一不存在的点(即函数至少有一侧极限不存在的点)称为函数的第二类不连续点。
例如,是函数
,
的第二类不连续点。
五 区间上连续函数的基本性质
性质1(最大、最小值定理)若在闭区间
上连续,则
在
上有最大值与最小值。
性质2(有界性定理)若在
上连续,则
在
上有界。
注:上述性质成立的条件是充分的,而非必要的。
性质3(介值定理)设在
上连续,且
。若
是介于
和
之间的任何实数,则至少存在一点
,使得
。
注 表明若在
上连续,又
的话,则
在
上可以取得
和
之间的一切值。
性质4(根存在定理) 若在
上连续,且
和
异号(
),则至少存在一点
,使得
。
几何意义 若点和
分别在
轴两侧,则连接A、B的曲线
与
轴至少有一个交点。
例:设在
上连续,满足
。证明:存在
,使得
。
提示:构造适当的;构造适当的闭区间。
六 一致连续性
1.一致连续的定义
定义3(一致连续) 设为定义在区间
上的函数。若对任给的
,存在一个
,使得对任何
,只要
,就有
,则称函数
在区间
上一致连续。
2.函数在区间上连续与一致连续的比较
(1) 区别:
定义 |
函数 |
函数 |
对 |
对于 |
|
性质 |
与区间中每一点及其附近的 |
要知 |
(2) 关系
若在
上一致连续,则
在
上连续;反之不成立。
定理(康托Cantor定理) 若函数在闭区间
上连续,则
在
上一致连续。
例:证明 在
上一致连续。
例:(1)证明函数在
内不一致连续。
(2),证明
在
内是一致连续的。
§4 无穷小量与无穷大量的阶
两个无穷小量,哪一个收敛速度更快呢?。
定义1 设当时,
均为无穷小量。
1) 若,则称
为
的高阶无穷小量,记作
;
2)若,则称
为
的同阶无穷小量,记作
。
3)若,则称
和
为等价无穷小量,记作
。
4)若,则称
为
阶无穷小量,称
为
的主要部分。
注:可类似定义无穷大量。
例:求当时,
的阶和主要部分。
注:在求极限过程中,可利用等价无穷小量代换求极限,但应注意:只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代,而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。
例:求极限。