第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

§1. 关于实数的基本定理

一 子列

定义1  在数列中，保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列，就称为的子列，记为。

子列的极限和原数列的极限的关系

定理1 若，则的任何子列都收敛，并且它的极限也等于。

注：该定理可用来判别不收敛。

例：证明 不收敛。

推论：若对任何：都有收敛，那么在的极限存在。

二 上确界和下确界

上确界的定义，下确界的定义

定理2   非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界。

定理3 单调有界数列必收敛.

三 区间套定理

区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件

ⅰ> 对, 有 ;

ⅱ> .

则称该闭区间序列为为区间套 .

注：区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.

例：和都是区间套.但都不是.

定理4设是一闭区间套. 则存在唯一的点属于所有的区间。

注：区间套中的任何一个条件去掉，定理一般将不成立。

四 致密性定理

定理5 任一有界数列必有收敛子列。

推论 若是一个无界数列，则存在子列。

五 Cauchy收敛原理

定理6 数列收敛 当时，有。

注：定理可通过数列本身来判别它收敛还是发散。

例：设，证明发散。

例：设，证明收敛。

六 有限覆盖定理

复盖: 先介绍区间族.

定义 (复盖 )：设是一个数集,是区间族.若对使得, 则称区间族复盖了, 或称区间族是数集的一个复盖. 记为若每个都是开区间，则称区间族是开区间族.开区间族常记为.

定义 (开复盖 )：数集的一个开区间族复盖称为的一个开复盖,简称为的一个复盖.

子复盖、有限复盖、有限子复盖.

例：复盖了区间,  但不能复盖。

定理7  闭区间的任一开复盖必有有限子复盖。

注：在定理的条件中，若不是开区间集，或为非闭区间，则从中就不一定能选出有限个区间来覆盖。

2 闭区间上连续函数性质的证明

一 有界性定理

定理1 闭区间上的连续函数必定有界。

注：开区间上的连续函数既可能有界，也可能无界。

二 最大值和最小值定理

定理2 闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。

三 零点存在定理

定理3 在闭区间连续，且，则在内至少有一个根。

证法一(用区间套定理)；

证法二(用确界原理)；

证法三 (用有限复盖定理)。

四 一致连续性定理

定理4 闭区间上的连续函数必定一致连续。

证法一 (用区间套定理)；

证法二 (用致密性定理)。