第八章 定积分的应用

§1   平面图形的面积

如果一块图形是由连续曲线，以及，所围成，那么这块图形的面积的计算公式为

。

例：求，所围的面积。

例：求，在上所围图形的面积。

若所给的曲线方程为参数形式： （），其中是连续函数，是连续可微函数，且且，，那么由，轴及直线所围图形的面积S的公式为

（）。

例：求旋轮线：一个拱与轴所围的图形的面积。

例：求椭圆（，）的面积。

设曲线的极坐标方程是：，，，则由曲线，射线及所围的扇形面积等于

。

例：求双纽线所围图形面积。

例：求由，，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积。

§2 曲线的弧长

1、先建立曲线的长度（弧长）的概念

一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。

设平面曲线由参数方程 （）给出，设是[]的一个划分[]，即，它们在曲线上所对应的点为，，…，。从端点开始用线段一次连接这些分点，，…，得到曲线的一条内接折线，用来表示的长度，则内接折线总长度为

曲线的弧长定义为内接折线的总长在时的极限：

如果存在且为有限，则称为可求长曲线。

2、弧长公式

设曲线： （），且，在[]上可微且导数，在[]上可积，曲线在[]无自交点，则曲线的弧长为：

注：其它形式的弧长公式

（1）设在上可微且导数可积，则曲线（）的弧长为：

。

（2）若曲线极坐标方程，，则当在[]上可微，且可积时，

。

例：求圆周，，的弧长。

例：求抛物线，的弧长。

例3、求椭圆（）的弧长。

3、弧长的微分

设：（）是光滑曲线，，在[]连续且＋），且无自交点。若把公式中的积分上限改为，就得到曲线，由端点到动点的一段弧长为

由上限函数的可微性知存在，。

§3 体积

一 一般体积公式

设一几何体夹在和（）这两个平行平面之间，用垂直于轴的平面去截此几何体，设载面与轴交点为，可得的截面面积为，如果是上的黎曼可积函数，则该几何体的体积V等于

。

例：求及的体积。

例：求由椭球面所围的几何体体积。

二 旋转体的体积

设，是一条连续曲线，曲线，绕轴产生旋转体的截面积为＝，则

＝

例：求抛物线，分别绕轴和轴所产生的旋转体体积。

§4 旋转曲面的面积

设在上非负，且连续可微，该曲线绕轴旋转后所得的旋转面的侧面积为

例：求半径为的球面面积。

例：某反光镜可近似地看成介于与米之间的抛物线绕轴旋转所成的旋转抛物面。求此反光镜镜面的面积。

§5 质心

重心在计算不少实际问题中遇到，例如造船时就要考虑怎样来设计才使船的重心低一些。设在平面上有个质点，质点坐标为，原量分别为，则该重心为（），有以下公式：

，。

定义：均匀物体的重心也叫做形心。

下面将此概念加以推广，来计算一般平面曲线（弧）的原心：

设曲线方程为（），，存在且，则曲线的重心坐标（）有近似公式：

，。

记，则时，得

，。

具体地，如果曲线方程段为，（），在连续，则此曲线段的质心坐标为

，。

其中为曲线段的弧长。如果密度不是常数，而是的连续函数，（）那么完全类似地可得曲线段质心坐标为：

，

其中，为曲线段的质量。

例：求以r为半径的半圆弧的形心。

例：轴长10米，密度分布为千克/米，其中为距轴的一个端点的距离，求轴之质量。

§6 平均值、功

一 平均值

设在闭区间连续，把区间等分，分点为

每一个分点上的函数值是，分点间的距离时，则的算术平均值为

令，则得在上的平均值为

。

例：求在上的平均值。

例：求交流电的平均功率。

二 功

设物体在力的作用下从点运动到点，则在上所作的功为。

例：求力从0运动到10所作的功。

例：半径为的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为，现将球从水中取出，要作多少功？

§7 定积分的近似计算

设在区间上连续，将区间分成个相等的区间，分点为

，

令，则Simpson公式为

。