第八章 定积分的应用
§1 平面图形的面积
如果一块图形是由连续曲线,
以及
,
所围成,那么这块图形的面积的计算公式为
。
例:求,
所围的面积
。
例:求,
在
上所围图形的面积。
若所给的曲线方程为参数形式:
(
),其中
是连续函数,
是连续可微函数,且
且
,
,那么由
,
轴及直线
所围图形的面积S的公式为
(
)。
例:求旋轮线:一个拱与
轴所围的图形的面积。
例:求椭圆(
,
)的面积
。
设曲线的极坐标方程是:,
,
,则由曲线
,射线
及
所围的扇形面积
等于
。
例:求双纽线所围图形面积
。
例:求由,
,所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积
。
§2 曲线的弧长
1、先建立曲线的长度(弧长)的概念
一条线段的长度可直接度量,但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量,因此需用不同的方法来求。
设平面曲线由参数方程
(
)给出,设
是[
]的一个划分[
],即
,它们在曲线
上所对应的点为
,
,…,
。从端点
开始用线段一次连接这些分点
,
,…,
得到曲线的一条内接折线,用
来表示
的长度,则内接折线总长度为
曲线的弧长
定义为内接折线的总长在
时的极限:
如果存在且为有限,则称
为可求长曲线。
2、弧长公式
设曲线:
(
),且
,
在[
]上可微且导数
,
在[
]上可积,曲线
在[
]无自交点,则曲线
的弧长
为:
注:其它形式的弧长公式
(1)设在
上可微且导数
可积,则曲线
(
)的弧长
为:
。
(2)若曲线极坐标方程,
,则当
在[
]上可微,且
可积时,
。
例:求圆周,
,
的弧长
。
例:求抛物线,
的弧长
。
例3、求椭圆(
)的弧长
。
3、弧长的微分
设:
(
)是光滑曲线,
,
在[
]连续且
+
),且无自交点。若把公式中的积分上限
改为
,就得到曲线
,由端点
到动点
的一段弧长为
由上限函数的可微性知存在,
。
§3 体积
一 一般体积公式
设一几何体夹在和
(
)这两个平行平面之间,用垂直于
轴的平面去截此几何体,设载面与
轴交点为
,可得的截面面积为
,如果
是
上的黎曼可积函数,则该几何体的体积V等于
。
例:求及
的体积
。
例:求由椭球面所围的几何体体积
。
二 旋转体的体积
设,
是一条连续曲线,曲线
,
绕
轴产生旋转体的截面积为
=
,则
=
例:求抛物线,
分别绕
轴和
轴所产生的旋转体体积。
§4 旋转曲面的面积
设在
上非负,且连续可微,该曲线绕
轴旋转后所得的旋转面的侧面积为
例:求半径为的球面面积
。
例:某反光镜可近似地看成介于与
米之间的抛物线
绕
轴旋转所成的旋转抛物面。求此反光镜镜面的面积。
§5 质心
重心在计算不少实际问题中遇到,例如造船时就要考虑怎样来设计才使船的重心低一些。设在平面上有个质点,质点坐标为
,原量分别为
,则该重心为(
),有以下公式:
,
。
定义:均匀物体的重心也叫做形心。
下面将此概念加以推广,来计算一般平面曲线(弧)的原心:
设曲线方程为
(
),
,
存在且
,则曲线
的重心坐标(
)有近似公式:
,
。
记,则
时,得
,
。
具体地,如果曲线方程段为,(
),
在
连续,则此曲线段的质心坐标为
,
。
其中为曲线段的弧长。如果密度不是常数,而是
的连续函数
,(
)那么完全类似地可得曲线段质心坐标为:
,
其中,
为曲线段的质量。
例:求以r为半径的半圆弧的形心。
例:轴长10米,密度分布为千克/米,其中
为距轴的一个端点的距离,求轴之质量。
§6 平均值、功
一 平均值
设在闭区间
连续,把区间
等分,分点为
每一个分点上的函数值是
,分点间的距离时
,则
的算术平均值为
令,则得
在
上的平均值为
。
例:求在
上的平均值。
例:求交流电的平均功率。
二 功
设物体在力的作用下从
点运动到
点,则
在
上所作的功为
。
例:求力从0运动到10所作的功。
例:半径为的球沉入水中,它与水面相接,球的比重为
,现将球从水中取出,要作多少功?
§7 定积分的近似计算
设在区间
上连续,将区间分成
个相等的区间,分点为
,
令,则Simpson公式为
。