第十二章 富里埃级数
§1 富里埃级数
一 富里埃(Fourier)级数的引进
1 定义:设是
上以
为周期的函数,且
在
上绝对可积,称形如
的函数项级数为的 Fourier级数(
的 Fourier展开式),其中
,
,
称为的 Fourier系数,记为
2 说明
1)在未讨论收敛性,证明一致收敛到
之前,不能将“~”改为“=”;此处“~”也不包含“等价”之意,而仅仅表示
是
的 Fourier级数,或者说
的 Fourier级数是
。2) 要求
上
的 Fourier级数,只须求出Fourier系数。
二 富里埃级数收敛性的判别
1. Riemann(黎曼)引理 设在(有界或无界)区间
上绝对可积,则
,
.
推论 在上绝对可积函数
的Fourier系数
;
2. Fourier级数收敛的充要条件
定理1 和
, 使得当
时成立
其中.
3. Fourier级数收敛的Dini判别法
推论: 设在
上除去有限点外存在有界导数,则
的Fourier级数点点收敛,且
特别地, 是
的连续点时,
,即
例: 设是以
为周期的函数,其在
上可表示为
,判定
的Fourier级数的收敛性.
例:设是以
为周期的函数,其在
上等于
,判定
的 Fourier级数的收敛性
例:
4. Jordan判别法
设在
上单调(或有界变差),则
。
例:设是以
为周期的函数,其在
上可表示为
,求
的 Fourier展开式。
计算的 Fourier系数的积分也可以沿别的长度为
的区间来积.如
,
,
例: 设是以
为周期的函数,其在
上等于
,求
的 Fourier级数.
如果仅定义在长为
的区间上,例如定义在
上, 此时
不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为Fourier级数.但可对
在
外补充定义,使其以
为周期, 如定义
,
它有下述性质:
a) 时,
; b)
以
为周期.
例 :
三 正弦级数和余弦级数
1 定义
形如的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如
的三角级数(函数项级数称为余弦级数.
2 如果是以
为周期的函数,在
上绝对可积, 若
是奇函数,则有
;若
是偶函数,则有
.
3设仅在
上有定义, 如果按奇函数的要求,补充定义
,然后再作
周期延拓,必得奇函数, 所得Fourier级数必为正弦级数. 对应地, 补充定义
后,再作
周期延拓,必得偶函数, 所得Fourier级数必为余弦级数。
例:
),将
展开成余弦函数。
例:将在
上展开为余弦级数。
四 一般周期函数的Fourier级数
设是周期为
的函数,且在
上绝对可积, 则有
,
其中,
,
例: 求的Fourier展开式.
五 Fourier级数的复数表示形式
设, 则其复数表示形式为
,
其中, 复的Fourier系数.
§2 富里埃变换
一 富里埃变换的概念
设在
内绝对可积。
定义1 称是
的富里埃变换,并把它记为
或
。即
。
富里埃变换的性质
(i)是
内的连续函数;
(ii)。
定义2 称是
的富里埃逆变换。又称
是的富里埃变换积分公式。
例: 求衰减函数的富里埃变换。
例: 求函数的富里埃变换和富里埃变换积分公式。
二 富里埃变换的一些性质
富里埃变换有一些简单的性质,这些性质在偏微分方程和概率论等课程中有着很重要的应用。
性质1(线性),其中
是两个任意给定的常数。
性质2(平移)对任何,设
,那么
。
性质3(导数)设,则
。
性质4 。