第十二章  富里埃级数

§1  富里埃级数

 

  富里埃(Fourier级数的引进

1  定义:设上以为周期的函数,且上绝对可积,称形如

的函数项级数为 Fourier级数( Fourier展开式),其中

称为 Fourier系数,记为

2         说明

1)在未讨论收敛性,证明一致收敛到之前,不能将“~”改为“=”;此处“~”也不包含“等价”之意,而仅仅表示 Fourier级数,或者说 Fourier级数是2) 要求 Fourier级数,只须求出Fourier系数。

  富里埃级数收敛性的判别

1. Riemann(黎曼)引理  在(有界或无界)区间上绝对可积,则

        .

 推论 上绝对可积函数Fourier系数

2. Fourier级数收敛的充要条件

定理1  , 使得当时成立

其中.

3. Fourier级数收敛的Dini判别法

推论: 上除去有限点外存在有界导数,Fourier级数点点收敛,

特别地, 的连续点时, ,

: 是以为周期的函数,其在上可表示为,判定Fourier级数的收敛性.

例:是以为周期的函数,其在上等于,判定 Fourier级数的收敛性

例:   

4. Jordan判别法

上单调(或有界变差),则

例:是以为周期的函数,其在上可表示为 , Fourier展开式。

   计算 Fourier系数的积分也可以沿别的长度为的区间来积.

    例:  是以为周期的函数,其在上等于, Fourier级数.

    如果仅定义在长为的区间上,例如定义在, 此时不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为Fourier级数.但可对外补充定义,使其以为周期, 如定义

,    

它有下述性质: a) , b) 为周期.

    :

   正弦级数和余弦级数

定义

形如的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如的三角级数(函数项级数称为余弦级数.

如果是以为周期的函数,上绝对可积, 是奇函数,则有;若是偶函数,则有.

3仅在上有定义, 如果按奇函数的要求,补充定义,然后再作周期延拓,必得奇函数, 所得Fourier级数必为正弦级数. 对应地, 补充定义,再作周期延拓,必得偶函数, 所得Fourier级数必为余弦级数。

:    ),展开成余弦函数。

例:上展开为余弦级数。

  一般周期函数的Fourier级数

   是周期为的函数,且在上绝对可积, 则有

,

其中

: Fourier展开式.

  Fourier级数的复数表示形式

, 则其复数表示形式为

,

其中, 复的Fourier系数.

 

§2  富里埃变换

 

  富里埃变换的概念

内绝对可积。

定义1  的富里埃变换,并把它记为。即

富里埃变换的性质

i内的连续函数;

ii

定义2  的富里埃逆变换。又称

富里埃变换积分公式。

例: 求衰减函数的富里埃变换。

例: 求函数的富里埃变换和富里埃变换积分公式

  富里埃变换的一些性质

富里埃变换有一些简单的性质,这些性质在偏微分方程和概率论等课程中有着很重要的应用。

性质1(线性),其中是两个任意给定的常数。

性质2(平移)对任何,设,那么

性质3(导数)设,则

性质