第十三章 多元函数的极限和连续性
§1、平面点集
一 邻域、点列的极限
定义1 在平面上固定一点,凡是与
的距离小于
的那些点
组成的平面点集,叫做
的
邻域,记为
。
定义2 设,
。如果对
的任何一个
邻域
,总存在正整数
,当
时,有
。就称点列
收敛,并且收敛于
,记为
或
。
性质:(1)。
(2)若收敛,则它只有一个极限,即极限是唯一的。
二 开集、闭集、区域
设是一个平面点集。
1.
内点:设,如果存在
的一个
邻域
,使得
,就称
是
的内点。
2.
外点:设,如果存在
的一个
邻域
,使得
,就称
是
的外点。
3.
边界点:设是平面上的一点,它可以属于
,也可以不属于
,如果对
的任何
邻域
,其中既有
的点,又有非
中的点,就称
是
的边界点。
的边界点全体叫做
的边界。
4.
开集:如果的点都是
的内点,就称
是开集。
5.
聚点:设是平面上的一点,它可以属于
,也可以不属于
,如果对
的任何
邻域
,至少含有
中一个(不等于
的)点,就称
是
的聚点。
性质:设是
的聚点,则在
中存在一个点列
以
为极限。
6.
闭集:设的所有聚点都在
内,就称
是闭集。
7.
区域:设是一个开集,并且
中任何两点
和
之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起来,而这条折线全部含在
中,就称
是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。
三 平面点集的几个基本定理
1.矩形套定理:设是矩形序列,其中每一个矩形都含在前一个矩形中,并且
,
,那么存在唯一的点属于所有的矩形。
2.致密性定理:如果序列有界,那么从其中必能选取收敛的子列。
3.有限覆盖定理:若一开矩形集合覆盖一有界闭区域。那么从
里,必可选出有限个开矩形,他们也能覆盖这个区域。
4.收敛原理:平面点列有极限的充分必要条件是:对任何给定的
,总存在正整数
,当
时,有
。
§2 多元函数的极限和连续
一 多元函数的概念
不论在数学的理论问题中还是在实际问题中,许多量的变化,不只由一个因素决定,而是由多个因素决定。例如平行四边行的面积由它的相邻两边的长
和宽
以及夹角
所确定,即
;圆柱体体积
由底半径
和高
所决定,即
。这些都是多元函数的例子。
一般地,有下面定义:
定义1 设是
的一个子集,
是实数集,
是一个规律,如果对
中的每一点
,通过规律
,在
中有唯一的一个
与此对应,则称
是定义在
上的一个二元函数,它在点
的函数值是
,并记此值为
,即
。
有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象。例如,二元函数就是一个上半球面,球心在原点,半径为
,此函数定义域为满足关系式
的
,
全体,即
。又如,
是马鞍面。
二 多元函数的极限
定义2 设是
的一个开集,
是一个常数,二元函数
在点
附近有定义.如果
,
,当
时,有
,就称
是二元函数在
点的极限。记为
或
。
定义的等价叙述1 设是
的一个开集,
是一个常数,二元函数
在点
附近有定义.如果
,
,当
时,有
,就称
是二元函数在
点的极限。记为
或
。
定义的等价叙述2 设是
的一个开集,
是一个常数,二元函数
在点
附近有定义.如果
,
,当
且
时,有
,就称
是二元函数在
点的极限。记为
或
。
注:(1)和一元函数的情形一样,如果,则当
以任何点列及任何方式趋于
时,
的极限是
;反之,
以任何方式及任何点列趋于
时,
的极限是
。但若
在某一点列或沿某一曲线
时,
的极限为
,还不能肯定
在
的极限是
。所以说,这里的“”或“”要比一元函数的情形复杂得多,下面举例说明。
例:设二元函数,讨论在点
的的二重极限。
例:设二元函数,讨论在点
的二重极限是否存在。
例:,讨论该函数的二重极限是否存在。
二元函数的极限较之一元函数的极限而言,要复杂得多,特别是自变量的变化趋势,较之一元函数要复杂。
例:。
例:① ②
③
例:求在(0,0)点的极限,若用极坐标替换则为
(注意:
在
时为0,此时无界)。
例:(极坐标法再举例):设二元函数,讨论在点
的二重极限.
证明二元极限不存在的方法.
基本思想:根据重极限定义,若重极限存在,则它沿任何路径的极限都应存在且相等,故若1)某个特殊路径的极限不存在;或2)某两个特殊路径的极限不等;3)或用极坐标法,说明极限与辐角有关.
例:在
的二重极限不存在.
三 二元函数的连续性
定义3 设在
点有定义,如果
,则称
在
点连续.
“语言”描述:
,有
。
如果在开集
内每一点连续,则称
在
内连续,或称
是
内的连续函数。
例:求函数的不连续点。
四 有界闭区域上连续函数的性质
有界性定理 若再有界闭区域
上连续,则它在
上有界。
一致连续性定理 若再有界闭区域
上连续,则它在
上一致连续。
最大值最小值定理 若再有界闭区域
上连续,则它在
上必有最大值和最小值。
零点存在定理 设是
中的一个区域,
和
是
内任意两点,
是
内的连续函数,如果
,
,则在
内任何一条连结
的折线上,至少存在一点
,使
。
五 二重极限和二次极限
在极限中,两个自变量同时以任何方式趋于
,这种极限也叫做重极限(二重极限).此外,我们还要讨论当
先后相继地趋于
与
时
的极限.这种极限称为累次极限(二次极限),其定义如下:
若对任一固定的,当
时,
的极限存在:
,而
在
时的极限也存在并等于
,亦即
,那么称
为
先对
,再对
的二次极限,记为
.
同样可定义先后
的二次极限:
.
上述两类极限统称为累次极限。
注意:二次极限(累次极限)与二重极限(重极限)没有什么必然的联系。
例:(二重极限存在,但两个二次极限不存在).设
由 得
(两边夹);由
不存在知
的累次极限不存在。
例:(两个二次极限存在且相等,但二重极限不存在)。设
,
由知两个二次极限存在且相等。但由前面知
不存在。
例:(两个二次极限存在,但不相等)。设
,
则 ,
;
(不可交换)
上面诸例说明:二次极限存在与否和二重极限存在与否,二者之间没有一定的关系。但在某些条件下,它们之间会有一些联系。
定理1 设(1)二重极限;(2)
,
。则
。
(定理1说明:在重极限与一个累次极限都存在时,它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在)。
推论1 设(1) ;(2)
,
存在;(3)
,
存在;则
,
都存在,并且等于二重极限
。
推论2 若累次极限与
存在但不相等,则重极限
必不存在(可用于否定重极限的存在性)。
例:求函数在
的二次极限和二重极限。