第十四章 多元函数微分学

§1 偏导数和全微分的概念

一 偏导数的定义

1． 偏导数定义

定义1 设是一个二元函数，定义在内某一个开集内，点（，） D， 在中固定,那么是一个变元的函数，如果在点可导，即如果

          (1)

存在，则称此极限值为二元函数在点（,）关于的偏导数。记为，。

类似地可定义。

2． 偏导数的计算

例: 设，求偏导数，。

例：，求和。

例：U=++yz 求，，。

3. 偏导数和连续

若在点关于（或）可导，则在关于（或）连续。但不能推出关于两个变量是连续的。见下面的例子。

例： ；

。

4. 偏导数的几何意义

就是曲线在的切向量。

就是曲线在的切向量。

二 全微分的定义

二元函数微分的定义

定义2 若函数的全改变量可表示为

=(+,+)=++()

且其中与，无关而仅与有关，则称函数在点可微，并称为在点的全微分，记为，即

。

性质1 如果在点（, ）可微，则，。

注：若在点可微，则。

性质2  若在点（，）可微，则f在点（，）连续。

例：设

证明在点不可微。

定理1 设函数的两个偏导数，在点（，）存在而且都连续，则在点（，）可微。

例：设，求。

三 高阶偏导数与高阶全微分

类似于一元函数的高阶导数，可以定义高阶偏导数。

例：设 ，求，；，；，。

注：一般情况下，未必有。

例： 设 ，可求得，。

定理2 设二元函数的两个混合偏导数，在(，)连续，则有(,)=(,)。

§2  求复合函数求导的链式法则

一 复合函数求导的链式法则

定理1（链式法则）设，，此时在点可微，又和都在点关于的偏导数存在，则

说明：(1) 几种特殊情形：定理1显然讲的是2个中间变量，2个自变量的情形，但其思想方法完全适用与其它情形：

1） 则。

2）设则

例：又设。求

（2） 计算复合函数的两阶及两阶以上偏导数，只要重复运用链式法则即可。

（3）有时，为书写上方便，记 。

例：。

例：

（4）链式法则链式法则中的条件是充分的，并非必要的。在使用链式法则时，要注意的可微性条件，如果不满足这一条件，链式法则不一定成立。

二 一阶微分形式不变性

一阶微分有个很重要性质——形式不变性。在二元函数中也有类似的性质。

设是二元可微函数，如果是自变量，则：

（各自独立变量） （1）

如果不是自变量而是中间变量， 又设都可微，并且可以构成复合函数，那么：

（2）

由（1），（2）的可知一阶微分形式的不变性。

注意（1）两阶微分没有这一性质，如下例。

例：设 则

如果二阶微分只有形式不变性，则有：

但

（2）利用一阶微分形式不变性求偏导数

例：设利用微分形式不变性求 并求出

（3）高阶微分不具有形式不变性。

§3 由方程（组）所确定的函数的求导法

在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如

这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所决定的。这种形式的函数称为隐函数。

本节将介绍由一个方程所确定的隐函数求导法以及由方程组所确定的隐函数求导法。

一 一个方程的情形

对

说明：（1） 求需要假定，这一假设是很重要的；（2） 这里只用到了“链式法则”；（3） 对求导，只在假定的函数的情况下，求导数，如何确定。

例： 设。

例： 设二阶可微，，求。

二 方程组的情形

设由方程组 确定了：并且它们具有对各个变元的连续偏导数，如何求偏导数？

解决方案：

求完全相同。

例：设。

例：设。

例：设，，，变换方程。

§4 空间曲线的切线与法平面

本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。

参数方程的情形

设空间曲线的参数方程为

其中的参数。又设都在连续，并且对每一不全为0，这样的曲线称为光滑曲线。通过曲线上任一点的切线定义为割线的极限位置，由此就可写出曲线在任一点的切线方程为：

。

法平面：过点可以作无穷多条切线与切线垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线在点处的法平面，其方程为：

。

例：求螺旋线：，（其中为常数）在点（，0，0）的切线方程和法平面方程。

如果曲线方程由下式表示：

， 。

则过点的切线方程为

，

过点的法平面方程为

。

空间曲线是用两个曲面的交线表示：

。

又设，关于有连续的偏导数，

；

例：求两柱面的交线在点的切线方程和法平面方程。

§5 曲面的切平面与法线

1、设光滑曲面的方程，为曲面上一点，过点的切平面方程为：

。

过点并与切线平面垂直的直线，称为曲线在点的法线，方程为：

。

2、若曲面方程为，则曲面过的切平面方称为

法线方程：。

3、曲面方程由方程组给出：

，，

给出，其中是参数。则曲面过的切平面方称为

。

法线方程为：

例：求曲面在点（2，1，4）的法向量的方向余弦，并求其法线方程和切平面方程。

例：证明对任何常数，球面和锥面正交。

§6 方向导数和梯度

一 方向导数

在许多实际问题中，常常需要知道函数在一点沿任何方向或某个方向的变化率。

定义1 设是中的一个区域，是D内一个函数，，是一个方向向量，令，如果

存在，则称此极限是在点沿方向的方向导数，记为。它表示在点沿方向的变化率。

定理1 设函数在点可微，则在点沿任何方向的方向导数存在，并且有

其中是方向的方向余弦。

例：设，求在点（1，0，2）沿方向（2，1，-1）的方向导数。

设是中的一个区域，是内的一个二元可微函数，那么在内每一点，沿单位向量的方向导数是

，

其中是轴的正向（即轴上单位向量）和向量之间的夹角。

二 梯度

1、引言

在一个数量场中，在给定点沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的，现在我们所关心的是：沿哪一个方向其方向导数最大？其最大值是多少？为此引进一个很重要的概念——梯度。

2、梯度的定义

定义2 设定义于某个三维区域内，又设函数具有关于各个多元的连续偏导数，称向量

是在点的梯度，记为，即

。

它的长度为

。

注：它是一个向量，是由数量场产生的向量。

3、的性质：

设可微，则

（1）；（是常数）。

（2）； （3） （）

（4） （在可微）

例：设在空间原点处有一个点电荷，在真空中产生一个静电场，在空间任一点处的电位是：

，

则

。

4、的意义

的方向表示数量场沿此方向的方向导数达到最大；的根长就是这个最大的方向导数。

例：求数量函数在的梯度及其大小。

§7 泰勒公式

定理1 设函数在点内对及具有直到阶连续偏导数。对D内任意一点，设，则

，

这里。

二元函数的中值公式

，其中。

例：写出在点附近函数的泰勒公式。

例：按及的乘幂展开函数到三项为止。