第十五章 极值和条件极值
§1. 极值和最小二乘法
一 极值
定义1 设在
的邻域内成立不等式
则称函数在点
取到极大值,点
称为函数的极大点,若在
的邻域内成立不等式
则称函数在点
取到极小值,点
称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值,极大点和极小点统称为极值点。
定义2 设是
内的一个区域,
是
的一个内点,如果
,
,则称
是
的一个驻点。
根据费玛定理,可知
定理1 二元函数的极值点必为的点或至少有一个偏导数不存在的点。
注:定理1的条件是必要条件,而不是充分条件。
例:在
点。
例:在
点。
怎样进一步判断是否有极值?
定理2 设在点
的某个邻域内有各个二阶连续偏导数,并且点
是
的一个驻点,
,
,
,
,则:(1)若
,则
在点
有极小值;(2)若
,则
在点
有极大值;(3)若
,则
在点
没有极值;(4)若
,则须进一步判断。
例:求
的极值。
例:求的极值。
多元函数的最大(小)值问题
设函数在某一有界闭区域
中连续且可导,必在
上达到最大(小)值。若这样的点
位于区域内部,则在这点显然函数有极大(小)值。因此,在这种情形函数取到最大(小)值的点必是极值点之一。然而函数
的最大(小)值最可能在区域的边界上达到。因此,为找出函数
在区域
上的最大(小)值,必须找出一切有极值的内点,算出这些点的函数值,再与区域边界上的函数值相比较,这些数值中最大数(或最小数)就是函数在闭区域
上的最大(小)值。通常可根据问题的实际意义来判断。
例:有一块宽24cm的矩形薄铁皮,把两边折起来,做成一个梯形水槽,问和
各自为何值时,水槽的流量是最大?
例:试在轴,
轴与直线
围成的三角形区域上求函数
的最大值。
二 最小二乘法
例:已知,
,…
服从线性关系:
问:如何根据这组数据来合理地确定系数和
?
解:总偏差为
,
确定系数,使总偏差最小。这种确定系数的方法叫做最小二乘法。令
即可解得。
几个疑问:1)如果怎么办?2)这样求出的
就是达到极小值的点?3)在选取
时,为什么不取各个偏差的代数和
作为总偏差?
例:已知,现测得一组数据
,
,利用最小二乘法,求系数
所满足的三元一次方程组。
§2 条件极值
一 何谓条件极值
在讨论极值问题时,往往会遇到这样一种情形,就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点到一曲面
的最短距离问题,就是这种情形。我们知道点
到点
的距离为
。现在的问题是要求出曲面
上的点
使F为最小。即,问题归化为求函数
在条件
下的最小值问题。
又如,在总和为C的几个正数的数组中,求一数组,使函数值
为最小,这是在条件
的限制下,求函数
的极小值问题。这类问题叫做条件极值问题。
二 条件极值的必要条件
为了方便起见,同时又不不失一般性,我们仅讨论以下情形。
前提:设函数具有对各个变元的连续偏导数,而这些变元
之间又受到以下条件的限制:
其中和
都具有对各个变元的连续偏导数,并且它们的行列式
。
目标:我们要求函数在限制条件
下的极值的必要条件。
定理1(限制极值的必要条件)在限制条件
下于点
取得极值,那么必存在常数
,
使得在该点有:
称,
是
乘数(待定乘数)。
这一结果可推广靠元函数。
三 条件极值的求法
在具体解题时,例如在限制条件下求
的极值,可如下进行:
1. 引入函数(
函数):
。
2. 求的极值(视
为独立变量):由
,
,
,
,
,
。
解得可能的极值点。
3. 求的二阶全微分
。若
,则
取得极小值;若
,则
取得极大值。
例:求空间内一点到平面
的距离。
例:要制造一容积为16的无盖长方形水箱,问水箱长、宽、高为多少时,所用材料最省?