第十五章 极值和条件极值

§1. 极值和最小二乘法

一 极值

定义1　设在的邻域内成立不等式

则称函数在点取到极大值，点称为函数的极大点，若在的邻域内成立不等式

则称函数在点取到极小值，点称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。

定义2 设是内的一个区域，是的一个内点，如果，，则称是的一个驻点。

根据费玛定理，可知

定理1  二元函数的极值点必为的点或至少有一个偏导数不存在的点。

注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。

例：在点。

例：在点。

怎样进一步判断是否有极值？

定理2 设在点的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点是的一个驻点，，，，，则：（1）若，则在点有极小值；（2）若，则在点有极大值；（3）若，则在点没有极值；（4）若，则须进一步判断。

例：求 的极值。

例：求的极值。

多元函数的最大（小）值问题

设函数在某一有界闭区域中连续且可导，必在上达到最大（小）值。若这样的点位于区域内部，则在这点显然函数有极大（小）值。因此，在这种情形函数取到最大（小）值的点必是极值点之一。然而函数的最大（小）值最可能在区域的边界上达到。因此，为找出函数在区域上的最大（小）值，必须找出一切有极值的内点，算出这些点的函数值，再与区域边界上的函数值相比较，这些数值中最大数（或最小数）就是函数在闭区域上的最大（小）值。通常可根据问题的实际意义来判断。

例：有一块宽24cm的矩形薄铁皮，把两边折起来，做成一个梯形水槽，问和各自为何值时，水槽的流量是最大？

例：试在轴，轴与直线围成的三角形区域上求函数的最大值。

二 最小二乘法

例：已知，，…服从线性关系：

问：如何根据这组数据来合理地确定系数和？

解：总偏差为

，

确定系数，使总偏差最小。这种确定系数的方法叫做最小二乘法。令

即可解得。

几个疑问：1）如果怎么办？2）这样求出的 就是达到极小值的点？3）在选取 时，为什么不取各个偏差的代数和作为总偏差？

例：已知，现测得一组数据，，利用最小二乘法，求系数所满足的三元一次方程组。

§2 条件极值

一 何谓条件极值

在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点到一曲面的最短距离问题，就是这种情形。我们知道点到点的距离为。现在的问题是要求出曲面上的点使F为最小。即，问题归化为求函数在条件下的最小值问题。

又如，在总和为C的几个正数的数组中，求一数组，使函数值为最小，这是在条件 的限制下，求函数的极小值问题。这类问题叫做条件极值问题。

二 条件极值的必要条件

为了方便起见，同时又不不失一般性，我们仅讨论以下情形。

前提：设函数具有对各个变元的连续偏导数，而这些变元之间又受到以下条件的限制：

其中和都具有对各个变元的连续偏导数，并且它们的行列式。

目标：我们要求函数在限制条件下的极值的必要条件。

定理1（限制极值的必要条件）在限制条件下于点取得极值，那么必存在常数，使得在该点有：

称，是乘数（待定乘数）。

这一结果可推广靠元函数。

三 条件极值的求法

在具体解题时，例如在限制条件下求的极值，可如下进行：

1． 引入函数（函数）：。

2． 求的极值（视为独立变量）：由

，，

，，

，。

解得可能的极值点。

3.  求的二阶全微分。若，则取得极小值；若，则取得极大值。

例：求空间内一点到平面的距离。

例：要制造一容积为16的无盖长方形水箱，问水箱长、宽、高为多少时，所用材料最省？