第十六章 隐函数存在定理、函数相关

§1   隐函数存在定理

一 一个方程的情形

在前面，我们是在假定从方程中可以确定的前提下，给出求导数的方法。然而需要指出的是：并不是任一方程都能确定出隐函数。因此，我们必须知道方程在什么情况下才能确定隐函数？

例：设有方程，问在点，，，的附近是否确定为的函数？

定理1  （隐函数存在定理） 设二元函数满足下列条件：

注： (1)定理的几何意义：条件(1)表明曲面是光滑的；条件（2）表明曲面和坐标平面有一个交点，条件（3）（不妨设）表明在的附近，对固定的，设为正向，曲面是单调增加的。定理的结论是：在点的附近曲面和有一条唯一的光滑交线.（2）定理的结论是局部性的，即在点的某个邻域内由方程可以唯一确定一个可微的隐函数。例如：

在点(0,1)的某个邻域内由方程可以确定唯一的。在点(0,-1)的某个邻域内由方程可确定唯一的 （3） 定理的条件是充分的，非必要的。如上例中的函数：在（-1，0）和（1，0）两点，，破坏了定理中的条件（3），从而定理失效。从图中可以看出，对于一在右邻域或左邻域内的任何一个值，将获得两个值：

，

唯一性条件破坏。

定理1中的方程是含有两个变量和的，对于3个变量，甚至于多个变量，也有类似的结果。

二 多变量及方程组的情形

定理2 满足：

的一个邻域内对各个变元有连续的偏导数；

（2）

（3） F，G关于的Jacobi矩阵

则：（1）存在点的一个邻域，在此邻域内由方程组 可以确定唯一的函数：满足：

（2）在内连续；

（3）在内有关于和的连续偏导数。

例：。问：（1）由方程确定的是关于和的可微函数？ （2）由方程确定的都是关于和的可微函数？

例：函数在那些点近旁可唯一地确定胆汁连续，且又连续导数的函数？

§2   函数行列式的性质、函数相关

一 函数行列式的性质

函数行列式不仅在隐含数存在定理中起着重要作用，而且在其它分析问题和应用中，也是经常出现的，它有以下主要性质：

性质1 设函数

定义于某一维区域中，且有关于一切变元的连续偏导数。又设

定义于某一维区域中，且有关于一切变元的连续偏导数。设的值域包含在中。则有

。

注：这个性质可看成复合函数求导公式的拓广。

性质2 设函数

定义于某一维区域中，且有关于一切变元的连续偏导数，并且它们的反函数

存在，且有关于一切变元的连续偏导数。则有

。