第十七章 含参变量的积分
设函数在矩形
上连续。定义含参积分
和
.
含参积分提供了表达函数的又一手段。我们称由含参积分表达的函数为含参积分。这种形式的函数在理论上和应用上都有重要作用,有很多很有用的特殊函数就是这种形式的函数。
下面讨论这种由积分所确定的函数的连续性,可微性与可积性。
定理1 若函数在矩形
上连续, 则函数
在
上连续.
注:在定理的条件下,有
,
即极限运算可以通过积分号。
例:求。
定理2 若函数及其偏导数
都在矩形
上连续, 则
,
也就是微分运算可以通过积分号。
例:当时,能否利用定理2计算
的导数?
定理3 若函数及其偏导数
在矩形域
上连续, 函数
和
在
上连续,并且
,
则函数在
上连续。
例:求。
定理4 设函数函数及其偏导数
在矩形域
上连续,函数
和
在
上存在,并且
,
则
。
例:设,求
。
定理5若函数在矩形
上连续,则
.
注:在定理的条件下,累次积分可交换求积分的次序。
例:求。
例: 研究函数 的连续性,其中
是
上连续且为正的函数。
解: 令,则
在
连续,其中
。从而
在
连续。
当时,
当时,记
,则
若存在,则
故在
不连续。
或用定积分中值定理,当时,
,使
若存在,则
故在
不连续。
问题1 上面最后一个式子能否写为
。
事实上,是依赖于
的,极限的存在性还难以确定。
例:设在
连续,求证
(其中
)
满足微分方程
。
证:令,则
,
它们都在上连续,则
例:设为连续函数,
求。
解:令,则
在第一项中令,在第二项中令
,则
。