第十七章 含参变量的积分

设函数在矩形上连续。定义含参积分

和.

含参积分提供了表达函数的又一手段。我们称由含参积分表达的函数为含参积分。这种形式的函数在理论上和应用上都有重要作用，有很多很有用的特殊函数就是这种形式的函数。

下面讨论这种由积分所确定的函数的连续性，可微性与可积性。

定理1  若函数在矩形上连续, 则函数在上连续.

注：在定理的条件下，有

，

即极限运算可以通过积分号。

例：求。

定理2 若函数及其偏导数都在矩形上连续, 则

，

也就是微分运算可以通过积分号。

例：当时，能否利用定理2计算的导数？

定理3 若函数及其偏导数在矩形域上连续, 函数和在上连续，并且

，

则函数在上连续。

例：求。

定理4 设函数函数及其偏导数在矩形域上连续，函数和在上存在，并且

，

则

。

例：设，求。

定理5若函数在矩形上连续，则

.

注：在定理的条件下，累次积分可交换求积分的次序。

例：求。

例： 研究函数 的连续性，其中是上连续且为正的函数。

解： 令，则在连续，其中。从而在连续。

当时，

当时，记 ，则

若存在，则

故在不连续。

或用定积分中值定理，当时， ，使

若存在，则

故在不连续。

问题1  上面最后一个式子能否写为

。

事实上，是依赖于的，极限的存在性还难以确定。

例：设在连续，求证

（其中 ）

满足微分方程 。

证：令，则

，

它们都在上连续，则

例：设为连续函数，

求。

解：令，则

在第一项中令，在第二项中令，则

。