第十八章 含参变量的广义积分
一 一致收敛的定义
定义1 设函数
定义在
上，称
含参变量的无穷积分。
定义2设函数定义在上，若
, 当
时,对一切
，成立
或 
。
就称含参无穷积分
关于一致收敛。
定义3设
对于
上的每一
值，以
为奇点的积分存在。若
, 当
时，对一切，成立
或 
，
就称含参无穷积分关于一致收敛。
二 一致收敛积分的判别法
以下假定积分收敛。
定理1（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数
，使得
如果积分
收敛，那么关于一致收敛。
例：证明含参无穷积分
在
内一致收敛。
三 一致收敛积分的性质
1. 连续性定理
定理2 设函数在上连续，关于一致收敛，那么是上的连续函数。
注：在定理的条件下，有
，
即极限运算可以通过积分号。
2.积分顺序交换定理.
定理3设函数在上连续，关于一致收敛，那么
。
注：在定理的条件下，累次积分可交换求积分的次序。
例：计算积分
。
3. 积分号下求导定理.
定理4 设函数，
在上连续，存在，
关于一致收敛。那么
，
也就是微分运算可以通过积分号。
例：计算积分
。
例：证明含参量非正常积分
在
上一致收敛，其中
。但在区间
内非一致收敛。
4. 含参无穷积分与函数项级数的关系
定理5
积分在
上一致收敛
对任一数列
, 
↗
, 函数项级数
在上一致收敛。
四 欧拉（Euler）积分
介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数, 即
和
.它们统称为Euler积分.在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数
1. Beta函数
（1） Beta函数及其连续性：
称(含有两个参数的)含参积分
为Beta函数。当
和
中至少有一个小于1 时, 该积分为瑕积分。下证对
, 该积分收敛。由于
时点
和
均为瑕点，故把积分
分成
和
考虑。
: 
时为正常积分; 当
时, 点为瑕点。由被积函数非负,
和 
,
( 由Cauchy判法)
积分收敛. ( 易见
时积分发散 ).
: 
时为正常积分; 当时, 点为瑕点.由被积函数非负,
和 
,
( 由Cauchy判法) 积分收敛. ( 易见
时积分发散 ).
综上, 当时积分收敛. 设D
,
于是, 积分定义了D内的一个二元函数.称该函数为Beta函数, 记为, 即
=
不难验证, 
函数在D内闭一致收敛. 又被积函数在D内连续, 因此, 函数是D内的二元连续函数.
（2）函数的对称性: 
.
由于函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有.
2．Gamma函数
（1）Gamma函数
考虑无穷限含参积分
,
当
时, 点还是该积分的瑕点. 因此我们把该积分分为 
来讨论其敛散性 .
: 
时为正常积分.时, 
.利用非负函数积的Cauchy判别法, 注意到
当时积分收敛. (易见当
时, 仍用Cauchy判别法判得积分发散). 因此, 
时积分收敛.
: 
对
R成立,.因此积分对R收敛.
综上, 时积分收敛. 称该积分为Euler第二型积分. Euler第二型积分定义了
内的一个函数, 称该函数为Gamma函数, 记为, 即
=
, .
函数是一个很有用的特殊函数.
（2）函数的连续性和可导性:
在区间内非一致收敛.这是因为时积分发散. 这里利用了下面的结果: 若含参广义积分在
内收敛, 但在点
发散, 则积分在
内非一致收敛.但在区间内闭一致收敛.即在任何
上,一致收敛. 因为
时, 对积分 , 有
, 而积分
收敛.对积分, 
, 而积分
收敛.由M—判法,它们都一致收敛, 积分在区间
上一致收敛.
作类似地讨论,可得积分
也在区间内闭一致收敛.于是可得如下结论:
的连续性: 在区间内连续.
的可导性: 在区间内可导, 且
.
同理可得: 在区间内任意阶可导,且
.
（3）的递推公式，函数表
的递推公式 : 
.
证
.
.
于是, 利用递推公式得:
,
,
,
…………, ,
一般地有 
.
可见, 在
上, 正是正整数阶乘的表达式. 倘定义
, 易见对
,该定义是有意义的.因此,可视
为
内实数的阶乘.这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了内的所有实数上,于是, 自然就有
, 可见在初等数学中规定 
是很合理的.
例：计算积分 
。