第十八章 含参变量的广义积分
一 一致收敛的定义
定义1 设函数定义在
上,称
含参变量的无穷积分。
定义2设函数定义在
上,若
, 当
时,对一切
,成立
或
。
就称含参无穷积分关于
一致收敛。
定义3设对于
上的每一
值,以
为奇点的积分存在。若
, 当
时,对一切
,成立
或
,
就称含参无穷积分关于
一致收敛。
二 一致收敛积分的判别法
以下假定积分收敛。
定理1(魏尔斯特拉斯判别法)设有函数,使得
如果积分收敛,那么
关于
一致收敛。
例:证明含参无穷积分在
内一致收敛。
三 一致收敛积分的性质
1. 连续性定理
定理2 设函数在
上连续,
关于
一致收敛,那么
是
上的连续函数。
注:在定理的条件下,有
,
即极限运算可以通过积分号。
2.积分顺序交换定理.
定理3设函数在
上连续,
关于
一致收敛,那么
。
注:在定理的条件下,累次积分可交换求积分的次序。
例:计算积分。
3. 积分号下求导定理.
定理4 设函数,
在
上连续,
存在,
关于
一致收敛。那么
,
也就是微分运算可以通过积分号。
例:计算积分。
例:证明含参量非正常积分在
上一致收敛,其中
。但在区间
内非一致收敛。
4. 含参无穷积分与函数项级数的关系
定理5
积分在
上一致收敛
对任一数列
,
↗
, 函数项级数
在
上一致收敛。
四 欧拉(Euler)积分
介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数, 即和
.它们统称为Euler积分.在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数
1. Beta函数
(1) Beta函数及其连续性:
称(含有两个参数的)含参积分为Beta函数。当
和
中至少有一个小于1 时, 该积分为瑕积分。下证对
, 该积分收敛。由于
时点
和
均为瑕点,故把积分
分成
和
考虑。
:
时为正常积分; 当
时, 点
为瑕点。由被积函数非负,
和
,
( 由Cauchy判法) 积分
收敛. ( 易见
时积分
发散 ).
:
时为正常积分; 当
时, 点
为瑕点.由被积函数非负,
和
,
( 由Cauchy判法) 积分
收敛. ( 易见
时积分
发散 ).
综上, 当时积分
收敛. 设D
,
于是, 积分定义了D内的一个二元函数.称该函数为Beta函数, 记为
, 即
=
不难验证, 函数在D内闭一致收敛. 又被积函数在D内连续, 因此,
函数是D内的二元连续函数.
(2)函数的对称性:
.
由于函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有.
2.Gamma函数
(1)Gamma函数
考虑无穷限含参积分
,
当时, 点
还是该积分的瑕点. 因此我们把该积分分为
来讨论其敛散性 .
:
时为正常积分.
时,
.利用非负函数积的Cauchy判别法, 注意到
当
时积分
收敛. (易见当
时, 仍用Cauchy判别法判得积分发散). 因此,
时积分
收敛.
:
对
R成立,.因此积分
对
R收敛.
综上, 时积分
收敛. 称该积分为Euler第二型积分. Euler第二型积分定义了
内的一个函数, 称该函数为Gamma函数, 记为
, 即
=
,
.
函数是一个很有用的特殊函数.
(2)函数的连续性和可导性:
在区间
内非一致收敛.这是因为
时积分发散. 这里利用了下面的结果: 若含参广义积分在
内收敛, 但在点
发散, 则积分在
内非一致收敛.但
在区间
内闭一致收敛.即在任何
上,
一致收敛. 因为
时, 对积分
, 有
, 而积分
收敛.对积分
,
, 而积分
收敛.由M—判法,它们都一致收敛,
积分
在区间
上一致收敛.
作类似地讨论,可得积分也在区间
内闭一致收敛.于是可得如下结论:
的连续性:
在区间
内连续.
的可导性:
在区间
内可导, 且
.
同理可得: 在区间
内任意阶可导,且
.
(3)的递推公式,
函数表
的递推公式 :
.
证
.
.
于是, 利用递推公式得:
,
,
,
…………, ,
一般地有 .
可见, 在上,
正是正整数阶乘的表达式. 倘定义
, 易见对
,该定义是有意义的.因此,可视
为
内实数的阶乘.这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了
内的所有实数上,于是, 自然就有
, 可见在初等数学中规定
是很合理的.
例:计算积分 。