第十九章 积分(二重、三重积分,第一类曲线、曲面积分)的定义和性质

§1 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念

 

 

1.     二重积分、三重积分,第一类曲线积分、第一类曲面积分都可看成已知物体的密度,求物体的质量。但要看物体的几何形状。

2.     几何体上的黎曼积分的定义。

定义1 为一块几何形体,这个几何形体是可以度量的,在这个几何形体上定义了一个函数。将这几何形体分为若干可以度量的小块。既然每一小块都可度量,故它们皆有度量大小可言,把他们的度量大小仍记为。并令,在每一块中任取一点,做下列和式:

如果这个和式不论对于的怎样分划以及上如何取法,只要当时恒有同一极限,则称此极限为在几何形体上的黎曼积分,记为:

也就是

这个极限是与分法和取法无关的。

叙述:如果对任意及一定数,总存在一个数,对于任意的分法,只要时,不管点上如何选取,恒有

则称上的黎曼积分,记为:

这时,也称上可积。

根据几何形体的不同形态,进一步给出上积分的具体表示式及名称。

1)如果几何体是一块可求面积的平面图形,那么上的积分就称为二重积分,在直角坐标下记为

2)如果几何体是一块可求体积的空间几何体,那么上的积分就称为三重积分,在直角坐标下记为

3)如果几何体是一块可求长的空间曲线段,那么上的积分就称为第一类曲线积分,在直角坐标下记为

4)如果几何体是一块可求面积的曲面片,那么上的积分就称为第一类曲面积分,在直角坐标下记为

3.性质

1

2)若上可积,则上有界。

 

§2 积分的性质

 

性质1 若函数上可积,为常数,则上也可积,且

即常数因子可从积分号里提出(注意与不定积分的不同)。

性质2  若函数都在上可积,则上也可积,且有

性质3 若函数上可积,且,则上都可积,且

反之,若上都可积,则上可积,且上述等式成立。

性质4   若函数都在上可积,且在上成立,则

性质5  若函数上可积,则上可积,且

注:上可积,不能推出上可积。

例:

上不可积,但可积。

性质6(积分第一中值定理)若函数上可积,则存在常数,使得

推论  若函数上连续,则在上至少存在一点,使

:若函数上连续,,但不恒等于0,则