第十九章 积分（二重、三重积分，第一类曲线、曲面积分）的定义和性质

§1 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念

1. 二重积分、三重积分，第一类曲线积分、第一类曲面积分都可看成已知物体的密度，求物体的质量。但要看物体的几何形状。

2. 几何体上的黎曼积分的定义。

定义1 设为一块几何形体，这个几何形体是可以度量的，在这个几何形体上定义了一个函数，。将这几何形体分为若干可以度量的小块，，…，。既然每一小块都可度量，故它们皆有度量大小可言，把他们的度量大小仍记为。并令，在每一块中任取一点，做下列和式：

如果这个和式不论对于的怎样分划以及在上如何取法，只要当时恒有同一极限，则称此极限为在几何形体上的黎曼积分，记为：

也就是

，

这个极限是与分法和取法无关的。

叙述：如果对任意及一定数，总存在一个数，对于任意的分法，只要时，不管点在上如何选取，恒有

，

则称为在上的黎曼积分，记为：

，

这时，也称在上可积。

根据几何形体的不同形态，进一步给出上积分的具体表示式及名称。

（1）如果几何体是一块可求面积的平面图形，那么上的积分就称为二重积分，在直角坐标下记为

。

（2）如果几何体是一块可求体积的空间几何体，那么上的积分就称为三重积分，在直角坐标下记为

。

（3）如果几何体是一块可求长的空间曲线段，那么上的积分就称为第一类曲线积分，在直角坐标下记为

。

（4）如果几何体是一块可求面积的曲面片，那么上的积分就称为第一类曲面积分，在直角坐标下记为

。

3．性质

（1）。

（2）若在上可积，则在上有界。

§2 积分的性质

性质1 若函数在上可积，为常数，则在上也可积，且

。

即常数因子可从积分号里提出（注意与不定积分的不同）。

性质2 若函数、都在上可积，则在上也可积，且有

。

性质3 若函数在上可积，且，，则在和上都可积，且

。

反之，若在和上都可积，则在上可积，且上述等式成立。

性质4 若函数和都在上可积，且在上成立，则

。

性质5 若函数在上可积，则在上可积，且。

注：若在上可积，不能推出在上可积。

例：

在上不可积，但可积。

性质6（积分第一中值定理）若函数在上可积，则存在常数，使得

。

推论 若函数在上连续，则在上至少存在一点，使

。

例：若函数在上连续，，但不恒等于0，则。