第十九章 积分(二重、三重积分,第一类曲线、曲面积分)的定义和性质
§1 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念
1. 二重积分、三重积分,第一类曲线积分、第一类曲面积分都可看成已知物体的密度,求物体的质量。但要看物体的几何形状。
2.
几何体上的黎曼积分的定义。
定义1 设为一块几何形体,这个几何形体是可以度量的,在这个几何形体
上定义了一个函数
,
。将这几何形体
分为若干可以度量的小块
,
,…,
。既然每一小块都可度量,故它们皆有度量大小可言,把他们的度量大小仍记为
。并令
,在每
一块
中任取一点
,做下列和式:
如果这个和式不论对于的怎样分划以及
在
上如何取法,只要当
时恒有同一极限
,则称此极限为
在几何形体
上的黎曼积分,记为:
也就是
,
这个极限是与分法和取法无关的。
叙述:如果对任意
及一定数
,总存在一个数
,对于任意的分法,只要
时,不管点
在
上如何选取,恒有
,
则称为
在
上的黎曼积分,记为:
,
这时,也称在
上可积。
根据几何形体的不同形态,进一步给出
上积分的具体表示式及名称。
(1)如果几何体是一块可求面积的平面图形
,那么
上的积分就称为二重积分,在直角坐标下记为
。
(2)如果几何体是一块可求体积的空间几何体
,那么
上的积分就称为三重积分,在直角坐标下记为
。
(3)如果几何体是一块可求长的空间曲线段
,那么
上的积分就称为第一类曲线积分,在直角坐标下记为
。
(4)如果几何体是一块可求面积的曲面片
,那么
上的积分就称为第一类曲面积分,在直角坐标下记为
。
3.性质
(1)。
(2)若在
上可积,则
在
上有界。
§2 积分的性质
性质1 若函数在
上可积,
为常数,则
在
上也可积,且
。
即常数因子可从积分号里提出(注意与不定积分的不同)。
性质2 若函数、
都在
上可积,则
在
上也可积,且有
。
性质3 若函数在
上可积,且
,
,则
在
和
上都可积,且
。
反之,若在
和
上都可积,则
在
上可积,且上述等式成立。
性质4 若函数和
都在
上可积,且在
上成立
,则
。
性质5 若函数在
上可积,则
在
上可积,且
。
注:若在
上可积,不能推出
在
上可积。
例:
在上不可积,但
可积。
性质6(积分第一中值定理)若函数在
上可积,则存在常数
,使得
。
推论 若函数在
上连续,则在
上至少存在一点
,使
。
例:若函数在
上连续,
,但
不恒等于0,则
。