§1 第一类曲线积分的计算
设函数在光滑曲线
上有定义且连续,
的方程为
则
。
特别地,如果曲线为一条光滑的平面曲线,它的方程为
,
,那么有
。
例:设是半圆周
,
。求
。
例:设是曲线
上从点
到点
的一段,计算第一类曲线积分
。
例:计算积分,其中
是球面
被平面
截得的圆周。
例:求,此处
为连接三点
,
,
的直线段。
§2 第一类曲面积分的计算
一 曲面的面积
(1)设有一曲面块,它的方程为
。
具有对
和
的连续偏导数,即此曲面是光滑的,且其在
平面上的投影
为可求面积的。则该曲面块的面积为
。
(2)若曲面的方程为
令
,
,
,
则该曲面块的面积为
。
例:求球面含在柱面
内部的面积。
例:求球面含在柱面
内部的面积。
二 化第一类曲面积分为二重积分
(1)设函数为定义在曲面
上的连续函数。曲面
的方程为
。
具有对
和
的连续偏导数,即此曲面是光滑的,且其在
平面上的投影
为可求面积的。则
。
(2)设函数为定义在曲面
上的连续函数。若曲面的方程为
令
,
,
,
则
。
例:计算,
是球面
,
。
例:计算,其中
为螺旋面的一部分:
。
注:第一类曲面积分通过一个二重积分来定义,这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。
例:I=,
是球面,球心在原点,半径为
。
§3 第二类曲线积分
一 变力做功和第二类曲线积分的定义
1.力场沿平面曲线
从点A到点B所作的功。先用微元法,再用定义积分的方法讨论这一问题,得
。
2. 第二型曲线积分的定义
定义1 设是一条光滑或逐段光滑曲线,且设
是定义在
上的有界函数,将
沿确定方向从起点
开始用分点
分成
个有向弧段
,直至终点
。且设
。在每一弧段
上任取一点
,作和式:
。
其中为起点
,
为终点
。设
,这里
表示有向线段
的长度。若当
时,和
有极限
,且它与
的分法无关,也与点
的选择无关,则称
为
沿曲线
按所述方向的第二类曲线积分,记作
或
。
注:如果向量,则向量沿曲线
按一定方向的第二类曲线积分为
。
注:第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。这是第二类曲线积分的一个很重要性质,也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。
注:在平面情况下,若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时,如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在他的左方,则这个方向就算作正向,否则就算作负向。这时只要方向不变,曲线积分的值是与起点的位置无关的。
二 第二类曲线积分的计算
设曲线自身不相交,其参数方程为:
。
且设是光滑的。设当参数
从
调地增加到
时,曲线从点
按一定方向连续地变到点
。设函数
定义在曲线
上,且设它在
上连续。则
。
(*)
注:(*)积分下限必须对应积分所沿曲线的起点,上限必须对应终点。
注:如果向量,则向量沿曲线
按一定方向的第二类曲线积分为
例:计算积分, L的两个端点为A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点A到点B或闭合,
路径为
(1)直线段AB ;
(2)抛物线;
(3)折线闭合路径A( 1, 1 )D(
2 , 1 )
B(
2 , 3 )
A(
1, 1 )。.
例:计算积分, 这里L :
(1)沿抛物线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );
(2)沿直线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );
(3)沿折线封闭路径O(0,0) A(1,0 )
B(1,2 )
O(0,0).
例:计算第二型曲线积分I = , 其中L是螺旋线
,
,从
到
的一段。
三 两类曲线积分的联系
第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义是不同的,由于都是沿曲线的积分,两者之间又有密切联系。两者之间的联系式为
例:证明:对于曲线积分的估计式为
。
利用这个不等式估计:
并证明。
例:设平面区域有一条连续闭曲线
所围成,区域
的面积设为
,推导用曲线积分计算面积
的公式为:
。
§4 第二类曲面积分
一 曲面的侧的概念
1.单侧曲面与双侧曲面
在实际生活中碰到的都是双侧曲面,至于单侧曲面也是存在的,牟彼乌斯带就是这类曲面的一个典型例子。
2.曲面的上侧和下侧,外侧和内侧
双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧,左、右侧,前、后侧. 设法向量为 ,
则上侧法线方向对应第三个分量, 即选“+”号时,应有
,亦即法线方向与
轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向. 封闭曲面分内侧和外侧.
二 第二类曲面积分的定义
先讨论由显式方程
表示的无重点的光滑曲面,并设
在
平面上的投影为边界由逐段光滑曲线
所围成的区域
。设选定了曲面的一侧,从而也确定了它的定向。
现在将有向曲面以任何方法分割为
小块
。设
为
在
平面上的投影,从而也得到区域
的一个相应分割。如果取的是上侧,这时所有
算作正的。如取下侧,这时所有
算作负的。设有界函数
定义在
上,在每一小块
任取一点
,作和式
其中表示
的面积。由上述所见,
是带有符号的,它们的符号是由所选的侧来决定的。设
为
的致敬,记
。若当
时,
有确定的极限
,且
与曲面分割的方法无关,也点
的选择无关,则称
为
沿曲面
的所选定的一侧上的第二类曲面积分,记为
。
注:有时也会碰到几个积分连在一起的情形,例如:
。
注:如果沿曲面的另一侧积分,则所得的值应当变号。
三 两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算
第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系
设为曲面
的指定法向, 则
.
定理1 设是定义在光滑曲面
D
上的连续函数, 以
的上侧为正侧(即
), 则有
.
类似地, 对光滑曲面D
, 在其前侧上的积分
.
对光滑曲面 D
, 在其右侧上的积分
.
计算积分时, 通常分开来计算三个积分
,
,
.
为此,分别把曲面投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲面
的定向决定.
推论 设,
,
是定义在光滑曲面
D
上的连续函数,则有
=
曲面的方向为上侧, 则等式前取“+”号; 曲面
的方向为下侧, 则等式前取“-”号.
例:计算积分,其中
是球面
在
部分取外侧。
例:计算积分,
为球面
取外侧.
解: 对积分, 分别用
和
记前半球面和后半球面的外侧, 则有
:
;
:
.
因此, =
+
.
对积分, 分别用
和
记右半球面和左半球面的外侧, 则有
:
;
:
.
因此,
+
.
对积分, 分别用
和
记上半球面和下半球面的外侧, 则有
:
;
:
.
因此,
=
+
.
综上, =
.