课程名称：数学分析 总学时： 288
英文名称： Mathematical Analysis
面对专业 : 数学类
一． 教学目标与基本要求
通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识、思想与方法；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。通过学习与研究，激发学生热爱专业，增强建设祖国的事业心和责任感，为学习数学专业的所有后续课程打下基础。
二． 教学方法
以课堂教学为主，讲授课时与习题课课时的分配，应注意精讲多练，保证必要的习题量。并充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。指导思想：微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。
三、 教学内容
第一章 变量与函数（10学时）
本章内容分为实数集的性质、函数的概念、复合函数和反函数、基本初等函数。教学重点：（1）理解实数的有序性、稠密性与封闭型；（2）理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、周期函数、奇函数和偶函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；（3）牢记基本初等函数的定义、性质及其图像。会求初等函数的定义域、值域，会分析初等函数的复合关系。掌握几个特殊函数的表示方法。
§1. 函数的概念
一、变量; 二、函数 ;三、函数的一些几何特性
§2. 复合函数和反函数
一、复合函数;二、反函数
§3. 基本初等函数
第二章 极限与连续（30学时）
本章介绍了数列极限的概念、性质与四则运算，数列收敛性的判别法，无穷大量的定义、性质和运算。给出一般函数极限的概念、基本性质，判定函数极限存在的海涅定理，介绍求函数极限的一些方法以及单侧极限；给出连续函数的概念、性质，进而证明任何初等函数在其有定义的区间上连续；讨论不连续点的类型和闭区间上连续函数的性质；引入了无穷小（大）量及其阶的概念。
教学重点：（1）数列极限“ ”的定义及相关概念；（2）理解并能证明收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性及不等式性质；（3）掌握并会应用收敛数列的四则运算定理、夹逼定理以及单调有界定理；（4）理解函数极限“ ”的定义，能运用定义证明与函数极限有关的某些命题；（5）掌握函数极限的基本性质；（6）掌握海涅定理，领会其实质以及证明的基本思路；（7）掌握两个重要极限；（8）掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。（9）理解间断点的概念，识别不同类型的间断点；（10）熟知复合函数的连续性和反函数的连续性；（11）掌握闭区间上连续函数的性质和运用；（12）理解一致连续的概念。
§1. 数列的极限和无穷大量
一、数列极限的定义;二、数列极限的性质 ;三、数列极限的运算 ;四、单调有界数列 ;五、无穷大量的定义 ;六、无穷大量的性质和运算
§2. 函数的极限
一、函数在一点的极限;二、函数极限的性质和运算;三、单侧极限;四、函数在无穷远处的极限;五、函数值趋于无穷大的情形;六、两个常用的不等式和两个重要的极限
§3. 连续函数
一、连续的定义;二、连续函数的性质和运算;三、初等函数的连续性;四、不连续点的类型;五、闭区间上连续函数的性质
第三章 极限续论（18学时）
本章介绍子列的定义，上、下确界的含义、区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理的证明方法以及证明思路，有界性定理、最大（小）值定理、零点存在定理、反函数连续性定理、一致连续性定理的证明方法。教学重点：（1）理解上、下确界的含义；（2）理解区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理；（3）掌握有界性定理、最大（小）值定理、零点存在定理、反函数连续性定理、一致连续性定理的证明。
§1. 关于实数的基本定理
一、子列;二、上确界和下确界;三、区间套定理;四、致密性定理;五、柯西收敛原理;六、有限覆盖定理
§2. 闭区间上连续函数性质的证明
一、有界性定理;二、最大（小）值定理;三、零点存在定理;四、反函数连续性定理;五、一致连续性定理
第四章 导数与微分（20学时）
导数与微分是数学分析的基本概念之一。本章以速度问题为背景引入导数的概念，介绍了导数的几何意义，给出了求导法则、公式，继而引进微分的概念，并阐明其几何解析；最后讨论了高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。
教学重点：（1）理解导数概念，明确其实际背景并给出物理、几何解析，明确可导与连续的关系；（2）掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则，会求由参数方程所给出的函数的导数及反函数的导数；（3）理解函数在一点的微分的定义，可导与可微的一致性，能熟练求初等函数的微分；（4）掌握高阶导数与高阶微分的定义，会求高阶导数与高阶微分。
§1. 导数的引进与定义
一、导数的引进;二、导数的定义及几何意义
§2. 简单函数的导数
一、常数的导数;二、三角函数的导数;三、对数函数的导数;四、幂函数的导数
§3. 求导法则
一、导数的四则运算;二、反函数的导数;
§4. 复合函数求导法
§5. 微分及其运算
一、微分的定义;二、微分的运算法则;
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
一、隐函数求导法;二、参数方程所表示函数的求导法
§7. 不可导的函数举例
§8. 高阶导数与高阶微分
一、高阶导数及其运算法则;二、高阶微分
第五章 微分学的基本定理及其应用（20学时）
中值定理是微分学的基本定理。本章介绍三个中值定理，罗比塔法则，泰勒公式，函数的升降、凸性与极值，平面曲线的曲率
教学重点：（1）理解中值定理及几何意义，掌握三个中值定理的证明方法，能应用中值定理证明某些有关的命题；（2）掌握常用初等函数的泰勒公式，会进行近似计算并估计误差；（3）掌握函数的升降、凸性与极值的判定方法，求解函数作图及实际应用问题；（5）熟练应用罗比塔法则计算极限。
§1. 中值定理
一、费尔马（Format）定理;二、拉格朗日（Lagrange）定理
§2. 泰勒公式
一、利用导数作近似计算;二、泰勒（Taylor）公式;
§3. 函数的升降、凸性与极值
一、函数的上升与下降;二、函数的极大值与极小值;三、函数的最大值与最小值;四、函数的凸性
§4. 平面曲线的曲率
一、曲线的曲率;二、弧长的微分;三、曲率的计算
§5. 待定型
一、0/0待定型;二、其他待定型
*§6. 方程的近似解
第六章 不定积分（10学时）
积分法是微分法的逆运算。本章讲的是不定积分的概念与运算法则，不定积分换元法和分部积分法，求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。教学重点：（1）理解并掌握原函数与不定积分的关系及其几何意义；（2）掌握不定积分的线性运算法则，能熟练运用基本积分表中的公式；（3）熟练掌握换元积分法，分部积分法并能解决求积问题；（4）掌握特殊类型的初等函数的积分。如有理函数的积分、三角函数有理式的积分及某些无理函数的积分。
§1. 不定积分的概念及运算法则
一、不定积分的定义;二、不定积分的基本公式;三、不定积分的运算法则;
§2. 不定积分的计算
一、“凑”微分法;二、换元积分法;三、分部积分法;四、有理函数积分法;五、其他类型的积分举例
第七章 定积分(20学时)
本章介绍定积分概念、可积条件，定积分的性质及计算方法；介绍微积分学理论中最重要的成果—微积分基本定理。教学重点：（1）理解定积分的概念及定积分存在的充要条件。（2）掌握可积函数类。（3）掌握定积分的第一中值定理及牛顿－莱布尼兹公式。（4）掌握定积分的换元积分法和分部积分法。
§1. 定积分概念
§2. 定积分存在条件
一、积分存在的充分必要条件;二、可积函数类
§3. 定积分的性质
§4. 定积分计算
一、定积分计算的基本公式;二、定积分的换元公式;三、定积分的分部积分公式;四、杂例
*五、椭圆积分
第八章 定积分的应用和近似计算（8 学时）
本章介绍定积分的几个重要应用---求面积，体积，弧长，曲率，压力，功及中心等；并介绍解决实际问题的基本思路。教学重点：（1）掌握定积分的几何应用---平面图形面积、平面曲线弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面已知的立体体积；（2）物理应用---质量、功、引力、压力。
§1. 平面图形面积
§2. 曲线的弧长
§3. 体积
§4. 旋转曲面的面积
§5. 质心
§6. 平均值、功
一、平均值;二、功
第九章 数项级数（24学时）
本章介绍上、下极限及其性质，数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法。教学重点：（1）理解上极限与下极限的概念及其性质，会求上、下极限；（2）理解敛散性概念、级数收敛的性质，熟练求一些级数的和；（3）熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert判别法及其极限形式，积分判别法判别正项级数的敛散性；（4）理解Leibniz级数，熟练利用Leibniz级数，Abel、Dirichlet判别法判别一般级数的敛散性。
§1. 上极限与下极限
§2. 级数的收敛性及基本性质
§3. 正项级数
§4. 任意项级数
一、绝对收敛级数;二、交错级数;三、阿贝尔判别法和狄立克莱判别法
§5. 绝对收敛级和条件收敛级数的性质
*§6. 无穷乘积
第十章 广义积分（10学时）
本章介绍了无穷限广义积分和无界函数的广义积分概念、性质、判别法则等。教学重点：（1）理解广义积分概念，了解无穷限广义积分和数项级数的关系，掌握比较判别法和柯西判别法；（2）理解无界函数的广义积分概念、性质、判别法则；（3）熟练计算广义积分。
§1. 无穷限的广义积分
一、无穷限广义积分的概念;二、无穷限广义积分和数项级数的关系;三、无穷限广义积分的收敛性判别法;*四、阿贝尔判别法和狄立克莱判别法
§2. 无界函数的广义积分
一、无界函数的广义积分;*二、阿贝尔判别法和狄立克莱判别法
第十一章 函数项级数、幂级数（24学时）
本章介绍函数项级数和函数列一致收敛的概念及其判别方法，一致收敛函数项级数和函数列的连续、可导和可积性；幂级数的收敛半径和收敛域及其半径求法，函数的幂级数展开。教学重点：（1）理解点态收敛、一致收敛和内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法；（2）掌握并应用函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstrass判别法，Abel、Dirichlet判别法；（3）掌握一致收敛级数的连续性、可导性和可积性；（4）掌握用Cauchy-Hadamard、D`Alembert求幂级数收敛半径，可以利用幂级数可导和可积性求幂级数的和；（5）掌握函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开；（6）了解Weierstrass第一逼近定理。
§1. 函数项级数的一致收敛性
一、函数项级数的概念;二、一致收敛的定义;三、一致收敛级数的性质;四、一致收敛级数的判别法
§2. 幂级数
一、收敛半径;二、幂级数的性质;三、函数的幂级数展开
§3. 逼近定理
第十二章 Fourier级数和Fourier变换（12学时）
本章介绍Fourier级数的来历；Dirichlet积分的定义及应用；Riemann引理及其推论及应用；Dini判别法及其推论，Dirichlet-Jordan判别法；周期为2π的函数的Fourier展开；将函数展开为正弦级数与余弦级数；任意周期的函数的Fourier展开；Fourier级数的分析性质：逐项积分和逐项微分定理。Fourier变换及其逆变换的形式及应用；Fourier变换的性质及其在理论分析和实际计算中的应用。教学重点：（1）熟练掌握函数的Fourier级数展开；（2）综合分析Fourier级数的敛散性；（3）理解并利用Fourier级数的分析性质；（4）初步了解Fourier变换及其性质。
§1. Fourier级数
一、富里埃级数的引进;二、三角函数系的正交性;三、富里埃系数;四、狄立克莱积分;五、黎曼引理;六、狄尼判别法;*七、狄立克莱-约当判别法;八、富里埃级数的一致收敛性;九、函数的富里埃级数展开;十、周期为T的函数的展开;十一、富里埃级数的复数形式;*十二、富里埃级数的逐项求积和逐项求导
§2. Fourier变换
一、富里埃变换的概念;二、富里埃变换的一些性质
第十三章 多元函数的极限与连续 （8 学时）
本章介绍了平面点集理论，多元函数的极限和连续，有界闭区域上连续函数的性质。教学重点：（1）理解多元函数及其极限的概念；（2）了解二元函数的极限概念，二重极限和二次极限的关系和计算；（3）掌握二元函数的连续性概念，有界闭区域上连续函数的性质。
§1. 平面点集
一、域、点列的极限;二、开集、闭集、区域;三、平面点集的几个基本定理;
§2. 多元函数的极限和连续性
一、多元函数的概念;二、二元函数的极限;三、二元函数的连续性;四、有界闭区域上连续函数的性质;五、二重极限和二次极限
第十四章 偏导数和全微分（14 学时）
本章介绍了偏导数和全微分的概念、运算、性质、求导方法和几何应用，介绍了二元函数的泰勒公式。教学重点：（1）理解偏导数与全微分的概念，了解全微分存在的必要和充分条件。（2）掌握复合函数的偏导数的计算。（3）理解Jacobi行列式，会求隐函数（包括方程组所确定的隐函数）的偏导数。（4）理解曲线的切线向量的定义，会求曲线的切线和法平面方程。理解曲面的法线向量的定义，会求曲面的切平面和法线的方程。（5）理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。（6）掌握二元函数的泰勒公式。
§1. 偏导数和全微分的计算
一、偏导数的定义;二、全微分的定义；三、高阶偏导数与高阶全微分
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
§3. 由方程（组）所确定的函数的求导法
一、一个方程F(x,y,z)=0 的情形；二、方程组的情形
§4. 空间曲线的切线与法平面
§5. 曲面的切平面与法线
§6. 方向导数和梯度
一、方向导数；二、梯度
§7. 泰勒公式
第十五章 极值和条件极（ 6 学时）
本章介绍了多元函数极值和条件极值的概念；极值必要条件、充分条件：求条件极值的拉格朗日乘法。教学重点：（1）理解多元函数极值和条件极值的概念。（2）掌握极值必要条件、充分条件。（3）掌握求条件极值的拉格朗日乘法。4.会求多元函数极值，最值，并会解决一些简单应用问题。
§1. 极值和最小二乘法
一、极值；二、最小二乘法
§2. 条件极值
第十六章 隐函数存在定理、函数相关(6学时)
本章介绍隐函数的概念，隐函数存在定理的各种表述，隐函数存在的判别法。教学重点：（1）理解并掌握隐函数存在定理；（2）了解隐函数存在定理的各种表述。
§1. 隐函数存在定理
一、F(x,y)=0情形；二、多变量及方程组情形
*§2. 函数行列式的性质、函数相关
第十七章 含参变量积分（6学时）
本章介绍了含参变量的积分的定义；含参变量的积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理；含参变量的积分的计算。教学重点：（1）理解含参变量积分的概念；（2）掌握含参变量积分的存在性、连续性、可积性的条件，会计算含参变量的积分。
第十八章 含参变量的广义积分（8学时）
本章介绍含参变量的广义积分的一致收敛的定义及判别法：Cauchy收敛原理、Weierstrass判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法及Dini定理；一致收敛积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理。Beta函数和Gamma函数的定义、性质、递推公式及二者之间的关系；关于Gamma函数的Legendre公式、余元公式和Stirling公式。教学重点:（1）理解含参变量广义积分一致收敛的定义；（2）掌握魏氏判别法；（3）掌握一致收敛积分的性质；（4）了解欧拉积分的初步性质。
一、一致收敛的定义；二、一致收敛积分的判别法；三、一致收敛积分的性质；四、欧拉积分
*五、阿贝尔判别法、狄立克莱判别法
第十九章 积分的定义和性质（ 4 学时）
本章介绍了二重、三重积分、第一类曲线、第一类曲面积分的概念和性质。教学重点：理解各种积分的定义及性质。
§1. 二重、三重积分，第一类曲线、曲面积分的概念
§2. 积分的性质
第二十章 重积分的计算及应用（ 12 学时）
本章主要讲述了二重、三重积分的计算及应用，并介绍广义重积分的概念。教学重点：（1）掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会作一般变量变换计算二重积分；（2）三重掌握积分（直角坐标、柱坐标、球坐标）的计算方法；（3）应用重积分求一些几何量与物理量（面积、体积、质心、矩、引力等）。
§1. 二重积分的计算
一、化二重积分为二次积分；二、用极坐标计算二重积分；三、二重积分的一般变量替换
§2. 三重积分的计算
一、三重积分为三次积分；二、三重积分的变量替换；
§3. 积分在物理上的应用
一、质心；二、矩；三、引力
§4. 广义重积分
第二十一章 曲线积分和曲面积分的计算（ 12学时）
本章主要讲述曲线积分和曲面积分的概念和计算。教学重点：（1）理解两类曲线积分的概念，掌握两类曲线积分的计算公式，了解它们之间联系；（2）理解第一类曲面积分概念，掌握计算公式（直角坐标、参数式），会求曲面面积；（3）理解第二类曲面积分的概念，掌握计算公式（直角坐标）。
§1. 第一类曲线积分的计算
§2. 第一类曲面积分的计算
一、曲面的面积；二、化第一类曲面积分为二重积分
§3. 第二类曲线积分
一、变力作功与第二类曲线积分的定义；二、第二类曲线积分的计算；三、两类曲线积分的联系
§4. 第二类曲面积分
一、曲面的侧的概念；二、第二类曲面积分的定义；三、两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算
第二十二章 各种积分间的联系和场论初步（ 14 学时）
本章主要讲述曲线积分与曲面积分之间的联系，曲线积分和路径的无关性及场论初步。教学重点：（1）掌握各型积分之间的关系，曲线积分与路径无关的条件；（2）了解梯度、散度、旋度的概念及其物理意义。
§1. 各种积分间的联系
一、格林(Green)公式；二、高斯(Gauss)公式；三、斯托克司(Stokes)公式；
§2. 曲线积分和路径的无关性
§3. 场论初步
一、场的概念；二、向量场的散度与旋度；*三、保守场；*四、算子▽
四． 考核方法
闭卷笔试，教考分离。考试成绩由平时作业、期中和期末考试成绩组成。平时作业：10%，期中考试：20%，期末考试：70%。
五． 教科书和参考书
（一） 教科书
选用教材：《数学分析》（上、下册），复旦大学数学系编，高等教育出版社，1983年第二版。
（二）参考书
《数学分析》（上、下册），陈传璋等编著，高等教育出版社，1985，教材。
数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社。
数学分析中的问题和反例，汪林，云南科学出版社。
数学分析讲义练习题解，刘玉琏，刘伟等编著，高等教育出版社。
数学分析问题研究与评注，汪林等编著，科学出版社。
W. Rmdin， Principle of Mathematical Analysis （Second edition）， Mc Graw-Hill ， New York， 1964。
《数学分析》，华东师范大学数学系编，高等教育出版社，1991。