线性代数教学大纲

    适用专业：理工管各专业 学时：40 学分： 3：

    一、内容简介： 内容包括：行列式，矩阵的运算，向量的线性相关性，线性方程组的基本理论及解法，特征值与特 征向量的概念与计算，矩阵的相似对角阵及用正交变换化对称矩阵为对角阵的方法，化二次型为标准形， 线性空间与线性变换。

    二、本课程的目的和任务： 线性代数是高等学校理工科和经济学科等有关专业的一门重要基础课。它不但是其它数学课程的基 础，也是各类工程及经济管理课程的基础。另外，由于计算机科学的飞速发展和广泛应用，许多实际问 题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决，于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究 和工程设计的科技人员必备的数学基础。

    三、本课程与其它课程的关系： 本课程的先修课是高等数学中的“空间解析几何与向量代数”部分。作为基础课，它是许多后继课， 如计算方法、数理统计、运筹学以及其他专业基础课和专业课的基础。随着对教学内容的改革，本课程 可以与高等数学中的某些部分结合起来讲授，如向量代数；又可在多元函数的微分学中介绍其部分应用， 如二次型的正定性。

    四、本课程的基本要求： 通过本课程的学习，要求学生熟练掌握行列式的计算，矩阵的初等变换，矩阵秩的定义和计算，利 用矩阵的初等变换求解方程组及逆阵，向量组的线性相关性，利用正交变换化对称矩阵为对角形矩阵等 有关基础知识，并具有熟练的矩阵运算能力和利用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继 课及进一步扩大知识面奠定必要的数学基础。具体要求如下：

                第一讲 二阶与三阶行列式、全排列及其逆序数、n阶行列式的定义

    目的：理解n阶行列式的定义。

    2、高斯消去法是解线性代数方程组的最常用的直接法，也是其它类型直接法的基础。在此方法 基础上加以改进，可得选主元的高斯消去法，其数值稳定性更高。

    3、矩阵的三角分解法是基于高斯消去法思想的另一种求解线性代数方程组的直接法。当线性代 数方程组的系数矩阵为特殊的对称正定阵时，又有平方根法及其改进方法。

    4、在实际问题中经常回遇到系数矩阵为三对角阵的情况，求解此类线性代数方程组可用追赶 法。

                          第二章：解线性代数方程组的迭代法

    1、了解算法的分类及迭代法的应用范围及构造迭代法时必须考虑的收敛性和收敛速度问题。

    2、雅可比迭代法是最基本的迭代法，在此基础上加以改造即得高斯-塞德尔迭代法。SOR方法是 高斯-塞德尔迭代法的加速方法。在SOR方法的迭代过程中改变分量的计算顺序即得SSOR方法。

    3、在用同一种方法求解不同的线性代数方程组时，常会产生不同的效果。这涉及到所解线性代 数方程组的性态。系数矩阵的条件数是度量线性代数方程组良态或病态的主要指标。

    4、迭代法的收敛性分析是研究解线性代数方程组的迭代法时必须考虑的问题。对于上述常用的 迭代法，须掌握其收敛的条件。而对一般的迭代法，掌握其收敛性分析的基本方法和主要结果有助于 我们进一步探究新的迭代法。

                            第三章：解非线性方程的迭代法

    1、了解研究解非线性方程的数值计算方法的必要性和主要研究内容。

    2、二分法是求单实根的有效方法。其优点是算法简单，收敛性可以得到保证。但不能用于求复 根和偶数重根。

    3、迭代法是一种逐步逼近根的方法，它使用某个固定公式反复校正根的近似值，使之达到精度 要求。研究迭代法必须考虑收敛性和收敛速度问题及其加速方法。

    4、牛顿法是用线性方程代替非线性方程作为其近似方程，用近似方程的根作为原方程根的近似 值。牛顿法在单根附近具有局部收敛性，并且至少具有平方收敛速度。但对初始指的选取比较苛刻。 此外，牛顿法可用于求重根及多项式方程的复根。

    5、弦截法是用差商代替牛顿迭代公式中的导数，分为单点弦截法和双点弦截法。双点弦截法具 有超线性收敛速度，但其使用需给出两个初始值。

    6、上述迭代法的基本思想也可用于非线性方程组的求解。相应地我们有求解非线性方程组的牛 顿法。为了减少计算量，可用某个矩阵近似代替雅可比矩阵，从而引出牛顿法的各种变形算法。

                        第四章：矩阵特征值与特征向量的计算

    1、乘幂法是一种计算实矩阵的按模最大的特征值及其相应的特征向量的方法。其特点是不破坏 原始矩阵，直接使用原矩阵进行计算。而反幂法常用于求按模最小的特征值及其相应的特征向量，其 有效性依赖于特征值的分布情况。

    2、雅可比方法、QR方法都属于变换法，经过正交相似变换，将原矩阵化为易于求特征值的特殊 形式。优点是收敛速度快，稳定性好。

                             第五章：代数插值

    1、代数插值是函数逼近的重要方法，也是数值积分、数值微分及微分方程数值解法的基础。常 用的插值法有适用于非等距节点的拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式，还有适用于等距节点的牛 顿前差插值多项式和牛顿后差插值多项式

    2、为了插值多项式能与被插函数较好地吻合，我们讨论了埃尔米特插值多项式，包括其公式的 推导和误差分析。

    3、鉴于高次插值的不稳定性，在插值点较多情况下，一般采用分段低次插值法，此类方法计算 简单且具有良好的稳定性和收敛性，应用较广泛。

    4、样条插值函数也是分段插值函数，它可以保证分段插值函数在整个区间上具有连续的二阶导 数，因此具有较好的光滑性，收敛性和稳定性。

                            第六章：函数逼近

    1、函数逼近问题的是对于给定函数 ，在另一类较简单的函数类中找到一个函数 ，使 与 之差 在某种度量意义下最小。

    2、最常用的度量标准有两种，即一致逼近和平方逼近。如果用代数多项式作为逼近函数，则有 最佳一致逼近多项式和最佳平方逼近多项式

    3、曲线拟合的最小二乘法也是函数逼近的常用方法，即对于给定的一组数据，根据最小二乘原 则在某一函数类中选择函数，使其拟合所给数据，在工程中具有广泛的应用。

                      第七章：数值积分与数值微分

    1、用插值多项式近似代替被积函数，从而导出积分与微分的近似计算公式是数值积分与数值微
分的基本方法。

    2、对于数值积分，在等距节点下，可导出牛顿-柯特斯公式，此类公式构造方便，算法简单；在
不等距节点下，可导出高斯求积公式，其精度较高，但节点没有规律，构造的技巧性较高。

    3、对于数值微分，用插值多项式的导数近似代替原函数的导数是最常用的方法。外推法的基本
思想即可用于数值积分，推导出精度较高，稳定性好的龙贝格算法，也可用于数值微分，得到外推算
法，精密地求得导数值。

                  第八章：常微分方程初值问题的数值解

    1、对于常微分方程初值问题，最常用的龙格-库塔方法，它除了具有较高的精度，还有自动起步
和便于调节步长的优点。

    2、线性多步法的计算量较少，但一般不能自行启动，需借助单步法提供初值。

    3、收敛性和稳定性从两个不同的角度描述了数值方法的可靠性。本章着重讨论了单步法的收敛
性和稳定性。鉴于数值稳定性的分析相当复杂，为了讨论简单起见，常用试验方程来检验常微分方程
初值问题的数值解法的数值稳定性。

    使用教材:

    1. 教材：《数值分析》，同济大学计算数学教研室编，同济大学出版社1998年出版；

    2. 教材:《计算方法》，姚敬之、王淑云、丁莲珍编，河海大学出版社2002年第二版。

    3. 教材:《计算方法》，易大义、沈云宝、李有法编，浙江大学出版社1989年出版；

    4.《数值计算方法》，关治、陈景良编，清华大学出版社1990年出版；

    5. 教材《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编，高等教育出版社1999年出版。