高等数学上学期模拟试题(五)
一、填空题(每小题3分,总15分)
1.设函数 ,则
.
2. .
3.设 ,则
.
4. .
5.曲线
的弧长等于
.
二、选择题(每小题4分,总20分)
1.设 ,则当
时,( )
A. 与
等价无穷小量;
B.
与
是同阶但非等价无穷小量;
C. 是比
高阶的无穷小量; D.
是比
低阶的无穷小量。
2.设函数 ,在
处可导,则常数( )
A. B.
C. D.
3.设 在
上严格单调减少,
在
处有极大值,则( ).
A. 在
处有极小值; B.
在
处有极大值;
C. 在
处有最小值; D.
在
处既无极值也无最小值.
4.若连续曲线 与
在
上关于
轴对称,则积分
的值为( )
A. B.
C.
D.0
5.已知 是可导的偶函数,且
,则曲线
在(-1,2)处的切线方程是
A. B.
C.
D.
三、(每小题5分,总15分)
1.设 ,其中
具有二阶导数,且
的一阶导数不等于-1,求
2.求
3.证明:当 时,
.
四、(每小题6分,总18分)
1. ,且
,证明
.
2.已知函数 ,试求:(1)
的单调区间;
(2) 的凹凸区间及拐点;(3)曲线
的渐近线.
3.已知 ,且满足
,求
.
五、(8分)设函数 在
的某邻域内有4阶连续导数。若
,而
.试问
是否为极值点:是否为拐点?证明你的结论。
六、(8分)证明方程 在区间(0,1)内有且仅有一个实根。
七、(8分)已知曲线 与曲线
在点
有公共切线,求
(1)常数 的值及切点(
);
(2)两曲线与 轴围成的平面图形绕
轴旋转所得旋转体的体积.
八、(8分)设 在闭区间
上有二阶导数,且
,
,求证:
(1)至少存在一点 使
;
(2)至少存在一点 ,使
.