高等数学下学期模拟试题（一）
一、填空（每小题3分，共9分，将答案填在题中横线上，不填解题过程）
1.设z=1n（1+xy），则
dz=
.
2.极限 
=
.
3.设f（x）是以4周期的周期函数，它在
定义为f（x）= 
则傅里叶级数在x=2处收敛于
，在x=1处收敛于
.
二、选择题（每小题3分，共9分，每小题给出四种选择，其中有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内）
1.设L是一光滑曲线，为了使曲线积分 
(x，y)dx+xF(x，y)dy与积分路径无关，则可微函数F(x，y）应满足条件（ ）.
A. 
；
B. 
;
C. 
;
D. 
.
2.微分方程 
的特解形式是( ).
A. 
;
B. 
;
C. 
;
D. 
.
3.如果幂级数 
在 
处条件收敛，那么该级数的收敛半径（ ）.
A．一定为2； B.一定大于2; C.一定小于2;
D.不能确定.
三、求解下列各题（每题6分，共24分）
1．
设函数z=z（x，y）由方程 
所决定.求 
.
2．
求经过两相交直线 
及 
的平面方程 .
3．
将二重积分 
化为二次积分，其中区域D为 
所围成的第一象限的部分.
4．
设函数 
,点（1，2，3）点A(1,2,-1),点B（2，4，1，），方向 
，①求函数f在点P处的梯度；②求函数f在点P处沿的方向导数.
四、 设z= 
求 
. （8分）
五、 求 
其中 
为平面 
在第一卦限中的部分. （8分）
六、计算 
，其中曲面 
为 
（ 
）的下侧.（8分）
七、求 
，其中 
为x+y+z=1在第一卦限部分的三角形边界，从y轴正方向看去，方向顺时针.（8分）
八、求幂级数 
的收敛半径，并求和函数.（8分）
九、设正项数列{an}单调减少，且
发散，证明级数
收敛.（8分）
十、现有每公升含
（1）列出在[t,
t+Δt]这段时间内含盐量改变量的关系式；
（2）求y (t).（或直接做第（2）问）.（满分5分）
十一、如左下图，已知球的半径为R，P是z轴上一定点，P与球心的距离为a (a<R).过球面上每一点Q作球的切平面，再过P点作切平面的垂线，球垂足M的轨迹所围成的主体的体积.（提示：选点P为坐标原点）（5分）