高等数学下学期模拟试题（三）

　

一、填空（每小题3分，总12分，将答案填在题中横线上，不填解题过程）

1．已知D是由直线x＋y=1,x－y=1及x=0所围， 则 ＝

2．设 正方形闭路 ，则 ＝

3．曲面 与平面 在点（1，-2，-3）处的夹角为 .

4．函数项级数 的收敛域为 .

二、选择题（每小题3分，总12分。每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内）。

1． ， 为 在第一象限部分的区域且 ，则使 成立的条件是（ ）。

（A） 及区域 均关于原点对称；

（B） 关于 轴、 轴对称， 关于原点对称。

（C） 关于原点对称， 关于 、 轴对称；

（D） 及 均关于 、 轴对称。

2．二元函数 在点 处可导（指偏导数存在）与可微的关系为（ ）。

（A）可导必可微； （B）可导一定不可微；

（C）可微必可导； （D）可微不一定可导。.

3．设 是方程 的一个解，若 ，且 ，则函数 在点 （ ）。

（A）取得极大值； （B）取得极小值；

（C）某个邻域内单调增加； （D）某个邻域内单调减少。

4．函数 在点 处具有两个偏导数 、 是函数存在全微分的（ ）。

（A）充分条件； （B）充要条件；

（C）必要条件； （D）既不充分也不必要。

三、计算下列各题（每小题6分，总30分）

1．求 ,其中D是

2．设两非零矢量阿a与b不共线，确定k，使两个矢量ka+b与a+kb共线.

3．计算 ,其中Γ是 。

4．计算 ，其中∑为球面 。

5．求方程 的通解。

四、（8分）设一平面垂直于 ，且通过从点 到直线 的垂线，求该平面的方程。

五、（8分）设函数 ,其中 具有二阶连续导数, 、 皆可微,求 .

六、（8分）设有一均匀物体（r=1）,它占有的空间区域是由曲面 与平面z=ln4及z=ln9围成的区域，求该物体对z轴的转动惯量．

七、（8分）求二元函数 在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值，最大值与最小值．

八、（8分）试计算曲面积分 ，其中 是曲面 与平面 及 所围立体表面的内侧．.

九、（6分）设正项数列 单调减少，且 发散，证明 收敛。